数学についての質問です。 Cさん：不等式（1ー√2）x ＞ √18ー3を解くと、 （1ー√2）x ＞

数学についての質問です。

Cさん：不等式（1ー√2）x ＞ √18ー3を解くと、
（1ー√2）x ＞ 3（√2ー1）と変形して、x ＜ 一3 となるよ

Cさんの言っていることは正しいか。
正しい場合は○を、誤っている場合は、正しい解答を求めよ。

答え）○

という問題があったのですが、
私は変形次第で、これは誤っているとも言えるのでは？
と疑問に思いました。

（1ー√2）x ＞ 3（√2ー1）のところで
ー（√2ー1）x ＞ 3（√2ー1）という様に変形すれば、
ーx ＞ 3 となり、
　　　　　　x ＜ 一3 となって間違ってはいないのですが、

　（1ー√2）x ＞ー3（1ー√2）という様に変形すれば、
　　　　　　x ＞一3となって、答えが合いません。

そもそもこの考え方自体違うのでしょうか？

分からないので、解説お願い致します。

No.1 回答者： finalbento 回答日時： 2023/12/29 05:24

ヒント

1-√2の値っておよそいくらくらいでしょうか。だとしたら

a>b

と言う不等式の両辺を1-√2で割ったら

a(1-√2)>b(1-√2)

となるでしょうか。

No.2 回答者： finalbento 回答日時： 2023/12/29 06:04

回答を一部訂正。

1-√2で割るわけですから

a/(1-√2)>b/(1-√2)

ですよね。先ほどは分数を表す横棒を書き忘れていました。大変失礼しました。とは言え回答の主旨が変わるわけではありませんが。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/12/29 10:25

(1-√2)x>-3(1-√2)

は
x>-3とはなりません

(1-√2)<0　は負の数なので

(1-√2)x>-3(1-√2)
の
両辺を負の数
(1-√2)<0
で割ると不等号の向きが変わり
x<-3
と
なるのです
だから
不等式
(1-√2)x>-3(1-√2)
の
両辺を負の数(1-√2)<0で割ってはいけません

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2023/12/29 11:11

√2≒1.41421356だから

1-√2≒-0.41421356
であることに注意して
不等号の向きを考えてください

No.5 回答者： finalbento 回答日時： 2023/12/29 12:51

そもそもの話、式の変形のやり方次第で不等号の向きが変わると言うのをおかしいとは思わなかったのでしょうか。

例えば式P(x)を式P'(x)に、式Q(x)を式Q'(x)に変形した場合、質問者様の主張は

P(x)>Q(x)

であったとしても

P'(x)<Q'(x)

となる場合があり得ると言う事です。P(x)とP'(x)、Q(x)とQ'(x)はそれぞれ同じ内容を表す式ですから、言わば「服を着替えただけで上下関係が変わる」と言う事になるので、これでは数学と言う学問そのものが成り立たなくなります。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/29 12:56

変形次第で、不等式の結論が変わるという妄想からは

卒業できたほうがいいが... あなたに、それが可能だろうか？
質問文中の考察は、a < 0 のとき
ax > ay ならば x < y であることに尽きるが、それ以前に、
等式にせよ、不等式にせよ、式変形というのは
筆の勢いで勝手に文字列を変えることではなく、
式の意味が変わらないように変形することなのだ
という理解が欠けているように思う。
それじゃ、数学にならないんだよ。

No.7 回答者： kairou 回答日時： 2023/12/29 14:58

(1-√2)x>√18-3 → (1-√2)x>3(√2-1)=-(√2-1)x>3(√2-1) までは OK 。

で 両辺を √2-1 で割れば -x>3 → x<-3 です。

「（1ー√2）x ＞ー3（1ー√2）という様に変形」← これが間違い。
「ーx ＞ 3 となり、x ＜ 一3 となって」と 同じように、
(1-√2)x<-3(1-√2) でなければなりません。
マイナスを掛けると 不等号の 向きが変わります。
考え方は 良いのですが、計算が間違っています。

No.8 回答者： AっKI 回答日時： 2023/12/29 17:10

１－√２は『負』なので

１－√２で割った時点で不等号の向きが変わります。
したがって、後者の方法でも同じ答えになります。

No.9 回答者： syotao 回答日時： 2023/12/29 17:50

（1ー√2）x ＞ー3（1ー√2）

これを（1ー√2）でわるとき（1ー√2）＜0　だから
x ＜ー3（1ー√2）/（1ー√2）＝－3　というように
不等号の向きを変えなくちゃいけない。

No.10 回答者： kokorororo 回答日時： 2023/12/29 18:38

不等式の解法において、変形は基本的には自由です。

しかし、変形することによって、不等号の向きが変わってしまう場合があるのは注意が必要です。

Cさんの言っていることは、（1ー√2）x ＞ 3（√2ー1）という変形によって、不等号の向きが逆転せずに解けることに基づいています。この変形は、両辺に 3（√2ー1） を加えることによって行うことができます。

たしかに、この変形によって不等号の向きが変わってしまうことはありません。しかし、Cさんが言っていることは、この変形が不等式を解くための唯一の方法ではないということです。

あなたが指摘したように、（1ー√2）x ＞ 3（√2ー1） を ー（√2ー1）x ＞ 3（√2ー1） に変形することもできます。この変形によって、不等号の向きは逆転し、 x ＜ 一3 という解は得られません。

したがって、Cさんの言っていることは、不等式を解くための正しい方法のひとつであると言えますが、唯一の方法ではないということです。

あなたの考え方は間違っていません。不等式の解法においては、変形の自由度があることを理解しておくことが重要です。