群数列

(2)の答えを出す計算方法を詳しく買いていただけるとありがたいです。

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/01/21 20:09

等差数列の一般形 a+(n-1)d に適用した結果の式は

Σ[k=1..n] a+(k-1)d = n{2a+(n-1)d}　ではありません
Σ[k=1..n] a+(k-1)d = (1/2)n{2a+(n-1)d}
です

項数=n
最初の数=初項=a
最後の数=a+(n-1)d
だから

(最初の数 + 最後の数)・(項数)/2=(1/2)n{2a+(n-1)d}

写真の答案は画像の通り

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/01/21 09:44

等差数列の和を求めるのに、逆順に並べて項ごとに足す

という方法は、著名な数学者ガウスが子供の頃に考えたもの
と言い伝えられている。参考↓
http://evariste.s21.xrea.com/Sequence1.htm

これを、等差数列の一般形 a+(n-1)d に適用した結果の式
Σ[k=1..n] a+(k-1)d = n{2a+(n-1)d} を
等差数列の和の公式として載せている参考書も少なくないが、
式を呪文のように暗記するよりも
逆順に並べて項ごとに足す方法を覚えておくほうが
ミスをしにくいと思う。写真の答案も、そうやっているように見える。
(最初の数 + 最後の数)・(項数)/2 である。

ちなみに、リンク先のエピソードは、どうやら
伝記作家の創作らしいと今では言われているが、
「ガウス少年の方法」という伝説は、すっかり定着している。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/01/20 21:10

初項a

公差d
項数m
の等差数列の和Sは

S=Σ_{k=1～m}{a+(k-1)d}
S=a+(a+d)+(a+2d)+…+{a+(m-3)d}+{a+(m-2)d}+{a+(m-1)d}…①
↓右辺を逆順に並べると
S={a+(m-1)d}+{a+(m-2)d}+{a+(m-3)d}+…+(a+2d)+(a+d)+a

↓これを①に加えると

2S={2a+(m-1)d}+{2a+(m-1)d}+{2a+(m-1)d}+…+{2a+(m-1)d}+{2a+(m-1)d}+{2a+(m-1)d}
↓項数mだから
2S=m{2a+(m-1)d}

↓両辺を2で割ると

S=(1/2)m{2a+(m-1)d}

(1)より,第n群に含まれる数は
初項
a=2^(n-1)
公差
d=1
項数
m=2^(n-1)
の等差数列
よって,求める総和Sは

S
=(1/2)m{2a+(m-1)d}
=(1/2){2^(n-1)}{2*2^(n-1)+{2^(n-1)-1}*1}
={2^(n-2)}{3*2^(n-1)-1}

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/01/20 14:43

詳しくもなにも、写真に書いてあるとおり。

あれで十分詳しい。

(1) で第 n 群の最初の数が 2^(n-1) であることを求めてある。
第 n 群の項数が 2^(n-1) であることは問題で与えてある。
第 n 群の数の和は、初項 1 公差 1 の等比数列の
第 2^(n-1) 項から第 2^n - 1 項までの和と判る。
等差数列の和は、ガウスの方法によって (最初の数 + 最後の数)・(項数)/2 だから、
(2) の答えは、((2^(n-1)) + (2^n - 1))・(2^(n-1))/2 = (3・2^(n-1) - 1)・2^(n-2).