cos36°と sin36°

α=cos36°+ isin36°のとき、次の値を求めよ。

・1+α+α^2+α^3+α^4+α^5+α^6+α^7+α^8+α^9

・1*α*α^2*α^3*α^4*α^5*α^6*α^7*α^8*α^9


cos36°=(1+√5)/4
sin36°={√(10+2√5)}/4


までわかってるのですが、
そのあとの計算はどうしたらいいんですか？
自力で計算しかないんですかね？
自力で計算してたら時間がすごくかかってしまいませんか？

No.3 ベストアンサー 回答者： paddler 回答日時： 2005/05/13 06:36

> α=cos36°+ isin36°のとき、次の値を求めよ。

この問題は、「同じ角度のcosとsinから成る複素数」というのがキーにっている問題であることは理解されていますか？

これは典型的な、「三角関数の複素数」を「指数が複素数である指数関数」で表現する、ということを利用する問題です。すなわち、

　　cosA ＋ i・sinA ＝ e^iA（eのiA乗のつもり）

です。だから、問題は

> ・1+α+α^2+α^3+α^4+α^5+α^6+α^7+α^8+α^9
> ・1*α*α^2*α^3*α^4*α^5*α^6*α^7*α^8*α^9

を普通に等比級数の和・積として解くだけなのです。

さあ、やってみましょう！！

No.2 回答者： pyon1956 回答日時： 2005/05/13 06:33

一番目はNo.1さんのヒントとド・モアブルの定理を併用。

α^10=1ですよ。
2番目はα^45=α^5
ここでド・モアブルの定理。
36度の三角比なぞここでは不必要です。

No.1 回答者： BLUEPIXY 回答日時： 2005/05/13 02:20

ヒント

(x^10 - 1)/(x-1)はいくら？