素数の平方根はすべて無理数ですか？

答えも知りたいですが、答えにたどり着くまでの道筋をご説明願えればありがたいのですが・・・よろしくおねがいいたします。

No.5 ベストアンサー 回答者： mathematik 回答日時： 2005/06/15 17:13

ならないと思います。

　

確か素数の定義は、１とその数自身に約数を持たない数でしたよね。
その定義を使ってまず、整数の範囲を証明します。

ある素数の平方根が整数になったとすると、その素数は素数の定義に反します。
なぜならば、その素数は１とその数自身以外に約数を持ってしまうからです。
つまり素数の平方根は整数でない。
これで整数の場合を証明したことになります。
今度は有理数まで範囲を拡大します。

任意の分数を

　ｐ／ｑ

と考えたとき、ｑが１にならばこの分数は整数になり、整数の範囲は先ほど証明したので、ｑが１以外の場合を考えます（あたりまえですが０でもありません）。
さらにこの分数は約分が終了した形であるとします、つまりｐとｑはお互いに素です。
もし素数の平方根が分数で表されたとすると、その分数を二乗すると素数（整数）になるはずです。
しかし、ｐとｑはお互いに素なのでこれを二乗した

　ｐ＾２／ｑ＾２

も割り切れないため、これは整数ではありません。整数ではないということは、素数でもありません。
これで有理数全体を証明したことになります。
つまり素数の平方根は有理数の世界にはありません。
無理数ということになります。

まちがっていたらすみません。

この回答へのお礼

どうもありがとうございます。回答もさることながら考え方の道筋を示していただくことが大変ありがたいことと思います。自分なりに勉強させていただきますが、くりかえし大切に読ませていただきます。

お礼日時：2005/06/16 10:19

No.6 回答者： mathematik 回答日時： 2005/06/15 19:07

♯５を訂正します。

>ｑが１にならば
でなく、「ｑが１ならば」でした。
すみません。

この回答へのお礼

プリントしたものを訂正させていただいて改めて読ませていただきます。

お礼日時：2005/06/16 10:20

No.4 回答者： yumisamisiidesu 回答日時： 2005/06/14 17:11

たぶん、

n：1でない自然数のとき
(素数)^(1/n)はn次代数的数になると思います

この回答へのお礼

ご教示ありがとうございます。勉強させていただきます。素数と無理数はどこか似ているように思うのですが・・・。

お礼日時：2005/06/15 10:02

No.3 回答者： legacysrm 回答日時： 2005/06/14 14:39

#2の方に補足させてください

A≠1の場合はそのとおりですがA=1の場合も考えなくてはいけません。

A=1のときはP=B^2になってしまうのでやはり有理数ではないということになります

この回答へのお礼

勉強の際に念頭に置かせていただきます。ありがとうごじました。

お礼日時：2005/06/14 14:45

No.2 回答者： sat4 回答日時： 2005/06/14 14:29

　仮に有理数だと仮定して、それが成立しないことを証明する方法が良いと思います。

　任意の素数をP、その平方根を√P=B/A（AとBは素）と仮定すると
P=√P×√P=B^2/A^2
AとBは互いに素であり、B^2/A^2は割り切れないので整数にならない。
従って、素数の平方根は有理数ではなく（素数Pは整数だから）、無理数となる。

この回答へのお礼

背理法の勉強の材料として最良のものかなと思いました。どうもありがとうございました。

お礼日時：2005/06/14 14:32

No.1 回答者： keroro001 回答日時： 2005/06/14 14:18

URLを参考に・・・

え、えぇ、私チンプンカンプン（爆）

参考URL：http://d.hatena.ne.jp/qtea/searchdiary?word=*[%BF%F4%B3%D8]

この回答へのお礼

同じ疑問を自分で解決しているのでえらいと思いました。ご教示ありがとうございました。

お礼日時：2005/06/14 14:30