必要条件について

Question

恒等式の問題に出てきたのですが、f(x)=g(x)・h(x) において、f(x) が４次式でg(x),h(x),が定数でないとすると、g(x)=h(x) が成り立つことを示せという問題です。そこで、「g(x)=h(x) はそれぞれ３次以下の等式である」と書かれているのですが、わかりません。これは必要条件ですよね。解答には何も書かれていないので、「g(x) = ３次 , h(x) = ３次」の場合もありえるよと書かれているように思えるのですが、どう考えればよいのかわかりません。
これは解答に不備があるのでしょうか。

似たような形で、「a+b≦１ならばa≦1, b≦1」 というのがあると思うのですが、「a+b≦１ならばa≦1, b≦1が必要条件である」としっかり書かなくて良いのでしょうか。

stomachman · Accepted Answer

これは数学の問題じゃありません。国語の問題です。題意が余りにも不明確でめちゃくちゃなんです。
ご質問なさる際に勝手に書き換えちゃってませんか？いや、この通り書いてあるというのだとすると…
　出題者が数学の問題をやらせる積もりだってぇのなら、その出題者はアホです。出題したのが先生なら文句を言いましょう。参考書の問題なら別の本に乗り換えましょう。入試の過去問だったら、そのアホ学校を受けるのはやめましょう。

[0]まず
g(x)・h(x)　
この・が何を意味するのか不明です。普通の掛け算でしょうか？それとも内積？
以下では単なる掛け算とみなすことにします。

[1] 必要条件、十分条件という言葉、あんまり囚われることはないです。（後で詳しく説明しますが）
P⇒Q　は「PならばQ」と読む。「Pが成り立っているなら必ずQも成り立っている」という状態（あるいは主張）を表しています。（それが本当かどうかは分かりません。）P⇒Qとは「Pが成り立つのにQが成り立たないことはない」と完全に同じ意味で、「Qが成り立つか、またはPが成り立たない」とも厳密に同じ意味です。

P⇒Q において、PはQの十分条件。(Qが成り立っているかどうか確かめたければ、Pが成り立つことを示せば十分）
P⇒Q において、QはPの必要条件。(Pが成り立っているかどうかチェックするには、少なくともQが成り立つのでなくてはお話にならない。Qが成り立っていてもPが成り立っているとは言えない。でも、Qが成り立っていないのなら、間違いなくPも成り立っていない。）

[2] 次の例は危ないな。
> 「a+b≦１ならばa≦1, b≦1」
つまり
(a+b≦１ ⇒ a≦1 ∧ b≦1)　　（∧はANDの意味です）
この命題自体は普通に考えたら間違いですよね。a=2, b=-3でもa+b≦１である。

(a≧0 ∧ b≧0 ∧ a+b≦１ ⇒ a≦1 ∧ b≦1)　
というのならオッケーで、
P =(a≧0 ∧ b≧0 ∧ a+b≦１) 
Q=(a≦1 ∧ b≦1)
P⇒Q
という形をしています。

或いは
(a+b≦１ ⇒ a≦1 ∨ b≦1)　　(∨は「OR: または」の意味です。）
というのならオッケーで、
P =(a+b≦１) 
Q=(a≦1 ∨ b≦1)
P⇒Q
という形をしています。

[3]さて、問題に取りかかりましょう。
「恒等式f(x)=g(x)h(x) において、f(x) が４次多項式でg(x),h(x),が定数でないとすると、g(x)=h(x) が成り立つことを示せ。g(x)=h(x) はそれぞれ３次以下の等式である」
まず形式的に（内容を考えないで）素直に整理します。
P =(∀x(f(x)=g(x)h(x)) ∧ f(x) は４次式 ∧ g(x)は定数でない ∧ h(x)は定数でない  )
Q =(∀x(g(x)=h(x)))
R= (h(x)=g(x)はそれぞれ３次以下の等式である)
とするとき
P⇒Q
を証明せよという問題らしい。でもRはどうしろと言っているのかよく分からない。

Qの∀x(g(x)=h(x))　というのは「どんなxについてもg(x)=h(x)が成り立つ。」と読む。つまりこれはg(x)=h(x)が恒等式であることを表す命題です。

Rの「h(x)=g(x)はそれぞれ３次以下の等式である」はでたらめです。完全に辻褄が合う合理的な解釈はないように思われます。
なぜなら、
☆「h(x)は３次以下の等式である」は常に誤りです。例えば(x+1)は３次以下の等式ですか？これは３次以下の多項式ではあるけれど、等式ではない。等式ってのは=が入ってなきゃいけません。
☆「h(x)=g(x)は３次以下の等式である」というのなら納得できます。しかしこの場合ご質問において『それぞれ』という言葉が入っているのがおかしい。等式は１個しかないのですから。
☆「h(x)は3次以下の多項式である」というのなら納得できます。でもg(x)=h(x)ですから、g(x)も3次以下の多項式であることは、わざわざ断るまでもない。


[4] ということは、ひょっとしたら問題はこういう意味ではないでしょうか？
P =( f(x) は４次多項式 ∧ ∀x(f(x)=g(x)h(x))  ∧ g(x)は定数でない３次以下の多項式 ∧ h(x)は定数でない３次以下の多項式  )
Q =(∀x(g(x)=h(x)))
とするとき
P⇒Q
つまり「4次多項式f(x)について、恒等式f(x)=g(x)h(x)が成り立つような定数でない３次以下の多項式g, hについて、恒等式g(x)=h(x)が成り立つ」ことを証明せよ。

次に内容に踏み込んでみましょう。
Pが成り立つとき、
P⇒Q
が成り立たない例は簡単に作れます。たとえば、
g(x) = x^3, h(x)=x 
はPを満たすけれどQは満たさない。

というわけで、この問題は間違い。解釈が出題者の意図に合っていないようだ。（あるいは質問者が問題を書き写す際に変形させちゃったのかもしれません。）

[5]それでは
P=(f(x) は４次多項式 )
Q= ∃g∃h（∀x(f(x)=g(x)h(x)) ∧ g(x) = h(x) ∧g(x)は定数でない３次以下の多項式 ∧ h(x)は定数でない ３次以下の多項式)
P⇒Q
という解釈ならどうでしょう。
∃g∃h（…）というのは、「（…）が成り立つようなg,hが存在する」という意味です。文章にすると
「４次多項式f(x)について、恒等式f(x)=g(x)h(x)が成り立ち、しかも恒等式 g(x) = h(x)が成り立つような、定数でない３次以下の多項式g,hが存在する。」

内容を考えてみます。例えばもし
f(x) = (x^3)(x+1)  = x^4+x^3
だったとすると、f(x)=g(x)h(x)) ∧ g(x) = h(x) を満たすg,hは
g(x)=h(x)=±√((x^3)(x+1))
しかないわけでして、はて、±√((x^3)(x+1))は３次以下の多項式なんでしょうか、どうなんでしょう？

この解釈もどうも旨く行かないようです。

[5] どうやらこの問題の文章はめちゃくちゃであるらしいことが分かってきました。こうなったら、まともな答が出るように問題文を作り直すしかありません。

恒等式f(x)=g(x)h(x)が成り立ち、fは4次の多項式、g,hは定数でない多項式だとしましょう。
g,hが3次を越える多項式であることはありえません。なぜなら、
g(x) = Ax^4+ .... 
h(x) = Bx+C
であったとしても
g(x)h(x) = AB(x^5)+AC(x^4)+ .....
となって、AB(x^5)の項が現れる。f(x)は４次多項式なので、
AB=0
でなくてはならない。するとA=0（gは3次の多項式）かB=0（hは定数）となってしまいます。h(x)が定数になったのでは駄目。だからgはどう頑張っても４次以上の多項式にはならない。hとgを入れ替えて同じ議論をすれば、g, h共に3次を越える多項式にはならないことが分かります。

そこで、
恒等式f(x)=g(x)h(x)が成り立つならば、
g(x) = A(x^3)+B(x^2)+Cx+D　　（A,B,Cのうちどれかは0でない）
h(x)  = E(x^3)+F(x^2)+Gx+H　　（E,F,Gのうちどれかは0でない）
と書ける。
掛け算すると
g(x)h(x) = AE(x^6)+(AF+BE)(x^5)+......
ここでf(x)は４次多項式だから、
AE=0
(AF+BE)=0
でなくてはならない。

AE=0ですからA=0かE=0である。従って、
場合1）A=0、E≠0のとき
(AF+BE)=0
より
 BE=0
だからB=0である。
g(x) = Cx+D　　（Cは0でない）
h(x)  = E(x^3)+F(x^2)+Gx+H　　（E,F,Gのうちどれかは0でない）

場合2）A≠0、E=0のとき
(AF+BE)=0
より
AF=0
だからF=0である。
g(x) = A(x^3)+B(x^2)+Cx+D　　（A,B,Cのうちどれかは0でない）
h(x)  = Gx+H　　（Gは0でない）

場合3）A=0、E=0のとき
(AF+BE)=0
は満たされています。
g(x) = B(x^2)+Cx+D　　（B,Cのうちどれかは0でない）
h(x)  = F(x^2)+Gx+H　　（F,Gのうちどれかは0でない）

ということ。

場合１，２ではg,hの次数が違いますから、恒等式g(x)=h(x)は絶対成り立たない。
場合3では、B=F, C=G, D=H である時に限って恒等式g(x)=h(x)が成り立つけれど、それ以外では成り立たない。
つまりこの問題では、「g(x)=h(x)」というのは恒等式の事を言っているのではないらしいと推察できます。

しかし、等式
g(x)=h(x)
はいずれの場合にも（恒等式ではない（つまり方程式である）けれど）「３次以下の多項式から成る等式である」ことには間違いないですね。

ははあ。問題はこのことを言いたかったらしい。

[6] では「正しい問題文」を考えてみましょう。
∀f∀g∀h (fは４次の多項式∧gは定数でない多項式∧hは定数でない多項式∧ ∀x(f(x)=g(x)h(x))⇒g(x)=h(x)は３次以下の多項式から成る等式)
つまり、「任意の4次の多項式fについて、恒等式f(x)=g(x)h(x)が成り立つような、定数でない多項式g,hを考える。そのようなどんなg,hについても、等式g(x)=h(x)は３次以下の多項式から成る等式である。」を証明せよ。

さて、この最後の問題で、どれが必要条件で、どれが十分条件か。

P=fは４次の多項式∧gは定数でない多項式∧hは定数でない多項式∧ ∀x(f(x)=g(x)h(x))
Q=g(x)=h(x)は３次以下の多項式から成る等式
P⇒Q
という訳ですから、
必要条件は
・fは４次の多項式
・gは定数でない多項式
・hは定数でない多項式
・恒等式f(x)=g(x)h(x)が成り立つ
であり、十分条件は
・g(x)=h(x)は３次以下の多項式から成る等式
と言うことができます。

でもね、この問題は
∀f∀g∀h (fは４次の多項式∧gは定数でない多項式∧hは定数でない多項式∧ 
　　（∀x(f(x)=g(x)h(x))⇒g(x)=h(x)は３次以下の多項式から成る等式))
と書いても同じ意味です。つまり
「fは４次の多項式、gは定数でない多項式、hは定数でない多項式とする。このとき、
恒等式f(x)=g(x)h(x)が成り立つならば、g(x)=h(x)は３次以下の多項式から成る等式である。」
こう読めば、
必要条件は
・恒等式f(x)=g(x)h(x)が成り立つ
十分条件は
・g(x)=h(x)は３次以下の多項式から成る等式
そして、「fは４次の多項式、gは定数でない多項式、hは定数でない多項式とする。」の部分は強いて言えば「前提条件」とでも呼ぶべきか。

さらに、
∀f∀g∀h (∀x(f(x)=g(x)h(x))∧gは定数でない多項式∧hは定数でない多項式∧ 
　　（fは４次の多項式⇒g(x)=h(x)は３次以下の多項式から成る等式))
と書いても同じ意味です。つまり
「恒等式f(x)=g(x)h(x)が成り立ち、gは定数でない多項式、hは定数でない多項式とする。このとき、
fが４次の多項式ならば、g(x)=h(x)は３次以下の多項式から成る等式である。」
こう読めば、
必要条件は
・fは４次の多項式
十分条件は
・g(x)=h(x)は３次以下の多項式から成る等式
そして、「恒等式f(x)=g(x)h(x)が成り立ち、gは定数でない多項式、hは定数でない多項式とする。」の部分が「前提条件」に該当する。

というわけで、「前提条件」なるものを持ち出してしまうと、必要条件だの十分条件だのという言葉は余り意味がないのがお分かりになるでしょう？
必要条件だの十分条件だの、あまり気にしないことです。

stomachman · Answer

●前提、必要条件、十分条件論理式が　P⇒(Q⇒R)　という構造をしているとき、「Pである場合にだけ限って考えれば、(Q⇒R)の必要条件はQ、十分条件はR」という解釈をすることができる。このとき、Pを強いて名付ければ「前提」と呼ぶのが分かりやすいだろうと思います。例えば ∀x (xは自然数⇒(x≠0⇒x>0)) なら、「自然数についてだけ考えれば、xが0でないならばxは正である」という読み方ができる。でも　P⇒(Q⇒R)は　￢P∨(￢Q∨R)　と等価であり、従って￢(P∧Q)∨Rとも、(P∧Q)⇒Rとも、Q⇒(P⇒R)とも等価です。だから「前提」と「必要条件」を区別するはっきりした根拠はないですね。￢(P∧Q)∨R を使って上の例を書くと、 ∀x (￢(xは自然数∧x≠0)∨x>0)　：「どんなxも、(0でない自然数)ではないか、あるいは正である」ということになる。これは「自然数についてだけ考えれば、xが0でないならばxは正である」と読む以上の含蓄があるように思いますが、如何でしょう。「必要条件・十分条件に注意しろ」というのは、Q⇒Rを証明すべき時に誤ってR⇒Qを証明しちゃうような、そういう誤りを諫めている。でもP⇒(Q⇒R)という読み方に拘らない方が、いろんなアプローチを考える余地ができると思います。 ●","の意味 ANDにもORにも使われることがありますが、「山田は男, 坂本は女, 柴田は犬だ。」と言ったらこれ、ANDでしょう？命題を","で繋いだら、大抵の場合ANDの意味です。問：x=1, y=0のとき、x+y+xyを求めよを「x=1またはy=0ならx+y+xyが幾らになるか」って考えるのはへそ曲がりでしょう。問：x(x-1)=0の必要十分条件は？答1：x=0,x=1 なんていい加減な書き方をしても、（1≠0）が分かっているからこれらは x=0 ∨ x=1 だろうと了解できますが、好ましくはありません。答2：x=0,1 のように、命題ではなく対象を","で繋ぐのはx∈{0,1}の意味だと思えばまだ許せます。 ●さて、補足なさった問題：「０，１のいずれとも異なる２整数a,b(a≠b)を考え、f(x)=x(x-1)(x-2)(x-a)(x-b)+1 とおく。g(x),h(x) は整数係数の多項式でf(x)=g(x)h(x) であると仮定する。このとき (1) g(0)=h(0)を示せ (2)g(x),h(x)のどちらも定数でないならば、g(x)=h(x) であることを示せ (3)(2)の場合が起こるようなa,bの例を１つ求めよ。」これを整理してみましょう。以下でZは整数の集合。Cはxの変域で、複素数とか実数とか、そのへんは曖昧ですが、命題Pを P = a≠b　∧　a∈Z-{0,1}　∧　b∈Z-{0,1}　∧ 　∀x(x∈C⇒f(x)=x(x-1)(x-2)(x-a)(x-b)+1)　∧ 　g∈整数係数の多項式　∧　h∈整数係数の多項式　∧　∀x(x∈C⇒f(x)=g(x)h(x)) とすると、 (1) ∀a∀b∀f∀g∀h (P⇒g(0)=h(0)) (2) ∀a∀b∀f∀g∀h (P⇒((gは定数関数でない∧hは定数関数でない)⇒∀x(g(x)=h(x)))) (3) ε∀f∃g∃h (P∧gは定数でない∧hは定数でない) と書けます。ここにεXは「Xを満たすような」と読みます。 (1)(2)の場合、Pを「前提」と考えるのが普通でしょうね。 (1)の命題は真です。もしPでないならば（g(0)=h(0)であろうとg(0)≠h(0)であろうと）(1)の命題は真です。またもしPならば、f(0)=1, g(0)∈整数, h(0)∈整数, f(0)=g(0)h(0)です。ゆえに整数の性質から g(0)∈{1,-1}, h(0)∈{1,-1}, g(0)=h(0)です。よって(1)の命題は真である。いずれにせよ、(1)の命題は真である。 (2)の命題は偽です。 f(x)は５次式ですから、「g(x),h(x) がxの多項式で、∀x(f(x)=g(x)h(x)) であって、しかも∀x(g(x)=h(x))」ということはない。なぜならもし∀x(g(x)=h(x))ならば、∀x(f(x) = (g(x))^2)だからf(x)の次数は偶数の筈です。 (3)も、そのようなa,bはない。

HitomiKurose · Answer

そうですね、その時点では「g(x) = ３次 , h(x) = ３次」の場合もありえると言ってます。
但し、別の条件（g(x)*h(x)が４次）から除外されます。
もちろんこれは必要条件です。

後半は、(a,bは非負と云う前提があるとして）必要条件と云うより
「a+b≦1 ならば a≦1 も成立するし、 b≦1 も成立するよ」
と考えればいいのでは？
これも a≦1,b≦1なら何でもいいわけではなく、必要条件であることは間違いありません。

Umada · Answer

お尋ねのもの「g(x), f(x)はそれぞれ3次以下」というのは単なる前提条件(あるいは制約条件)であり、数学の世界でいう「必要条件」(例えば「g(x)=h(x) が成り立つための必要条件」「f(x)が4次式であるための必要条件」)ではありません。

解答に不備はありません。問題が与えているその前提条件(g(x), f(x)はそれぞれ3次以下)だけでは、g(x), f(x)いずれもが3次式となることは禁じていません。
ただ実際に解いてみれば、その双方が3次式だとf(x)が4次式で収まらないので、それに由来して解から除外されるということです。

後半は「a, bとも正」という条件付きでのお話ですね。
これは上記の議論と異なり、問題が与えている前提条件ではなくて数学的に言う「必要条件」になっています。
「AならばBである」は「BはAであるための必要条件」であり、「AはBであるための十分条件」なわけですね。
もちろんおっしゃるように「a+b≦１ならばa≦1, b≦1が必要条件である」と書いて正しいわけですが、通常は簡単に「a+b≦１ならばa≦1, b≦1」とだけ書いているということです。

必要条件について

これは数学の問題じゃありません。

●前提、必要条件、十分条件

そうですね、その時点では「g(x) = ３次 , h(x) = ３次」の場合もありえると言ってます。

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