数学的ではないのですが、連続性について教えてください。

曲線の連続性は、点を共有していると連続性があるのですか？　曲線の点連続、接線連続、曲率連続、不連続の違いを教えてください。
また、曲面の連続性は、線を共有していると連続性があると言えるのでしょうか。

No.2 回答者： kentarou2333 回答日時： 2005/09/04 09:43

質問者の話題は、デザイン系の話でしょうか？

デザインでは、図形を作成するのに、複数の直線や曲線を組み合わせると思います。
その直線や曲線の接続部におけるなめらかさを表す言葉です。

その場合、、、

点連続とは、二つの直線、曲線の接続部の端点が同一であることを指します。
点を共有しているという理解でも問題はないと思いますが、もちろん線の途中の点を共有しているだけではダメです。

接線連続とは、二つの直線、曲線の接続部における、お互いの端点での接線が同一であることを指します。
もうちょっとくだいて言うと、接続部がとがっていないことをいいます。

曲率連続とは、二つの直線、曲線の接続部における、お互いの端点での曲率が同一であることを指します。
曲率とは曲線の「半径分の１」で表され、直線は半径を無限とみなすので曲率は０になります。
って、これが一番分かりにくいと思います。



簡単な図形は、直線と、孤（円の一部）によって描かれます。
直線と孤を、くっつければ点連続になります。
ただ、適当にくっつけてしまうと角がとがってしまい、接線連続ではありません。

うまく、孤の向きを直線の向きとあわせてやると接続部がなめらかになって接線連続になります。

そして、直線の端点における曲率は０で、孤の曲率は 1/半径 になってしまうので、
普通の直線と孤を組み合わせただけでは曲率連続が作成できません。

ただ、曲率連続でないと、接続部が微妙に不自然に見えたり、立体物ではそこになにかが反射して
写りこむと分かってしまうため、スプライン曲線など、曲率が連続になるような線が利用されます。


最後に、不連続とは、上記のそれぞれが連続でない状態を指し、接線不連続、曲率不連続などがあります。
点不連続は、単につながっていないことなのであまり特別に言われる事は少ないと思います。

また、上記のいずれもそのまま面を線で結合した場合にも言えることとなりますので、曲面が連続であるというのは、
辺が一致していることをさします。

No.1 回答者： yumisamisiidesu 回答日時： 2005/09/03 21:59

>曲線の連続性は、点を共有していると連続性があるのですか？

この質問文の表現は多分正確でないと思います.
大学1年くらいの数学(解析学)や位相数学とかで正確なことを習うと思いますが、次のような説明でできると思います.

ある曲線が連続であるとは、その曲線上のどの点についても、その点を中心としたどんなに小さい正の半径の円で囲んでもその円が他の曲線の点を含む

と言う説明の仕方です.