No.4ベストアンサー
- 回答日時:
連続した自然数の和といっても、1から始まる必要はないんですよねw
この問題のポイント
(1)
2のベキ(2^n)でない数は「2つ以上の連続する自然数」(必ずしも1から始まる必要はない)の和で書けること
(2)
2のベキ(2^n)で書ける数は完全数ではない。
(1)の証明
2のベキ(2^n)でない数は
(2^a)*(2b+1)
(ただしaは0以上の整数、bは1以上の整数)
と書くことが出来ます。
2^(a+1)>2b+1のとき
s=2^a-bからt=2^a+bまでの連続する自然数の和が
s+(s+1)+・・・+t=(t+s)(t-s+1)/2
={(2^a+b)+(2^a-b)}{(2^a+b)-(2^a-b)+1}/2=(2^a)*(2b+1)
と書けます。
2^(a+1)<2b+1のとき
s=b-2^a+1からt=2^a+bまでの連続する自然数の和が
s+(s+1)+・・・+t=(t+s)(t-s+1)/2
={(b+2^a)+(b-2^a+1)}{(b+2^a)-(b-2^a+1)+1}/2=(2^a)*(2b+1)
と書けます。
2^(a+1)は偶数、2b+1は奇数ですから2^(a+1)=2b+1とはなりえないことに注意してください。
したがって、2のベキ(2^n)でない数は連続する自然数の和で書けることがわかりました。
(2)
2のベキ(2^n)の約数の和は
1+2+・・・+2^n=2^(n+1)-1となるので、2^nは完全数ではありません。
したがって、(1)、(2)より「完全数が連続した自然数の和で表されること」が示されました。
ありがとうございました。
(1+…+t)-{1+…+(s-1)}=(2^a)*(2b+1)
として
(t+s)(t-s+1)=(2^(a+1))*(2b+1)
からs,tを定める、と理解しました。
それにしても、「連続した自然数の和で表される数のうちに完全数がある」という考え方は全く思いつきませんでした。
本当にありがとうございました。
No.3
- 回答日時:
「偶数の完全数」に限れば, #2 で実質的に終わってます.
#2 によると偶数の完全数が 2^(p-1)(2^p-1) (ここで 2^p-1 は素数) の形でしかありえないことが Euler により証明されているということなので, n = 2^p-1 とおくと 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 = 2^(p-1)(2^p-1) だから.
で疑問に思ったのは, 「じゃあ奇数の完全数はどうなの」ってところですが... ん~, どうやって証明するんだ?
(#4を理解した後で書いています。)
偶数の場合は「なるほど」と納得しました。
奇数の場合ですが、#4を理解したあとで、
2n+1=n+(n+1)
を思いつきました。
おかげですっきりしました。ありがとうございました。
No.2
- 回答日時:
まず完全数の定義ですが
「真の約数の和が自分自身になる数」
となります。
証明のとっかかりは
2p-1 が素数のとき、 2p-1(2p-1) は完全数である
p以降の数字はすべて階乗(フォントが無いので表示できない)
となります。
ここまではユークリッドの数論これで不十分なものはオイラーが証明しています。
証明を書いてしまうと面白くないので書きません。
オイラー公式に関しては
「オイラーの贈物」(筑摩書房)という本がありますのでこれをお勧めします。
この回答への補足
#2の補足に書いたことが質問の内容です。
「偶数の完全数が2^(n-1)*(2^n-1)の形に限ること」の証明ではありません。よろしくお願いします。
No.1
- 回答日時:
完全数の定義って「連続した自然数~」でしたっけ?
私は「自らの約数の和が自分自身になる」だと思っていました。
下のURLをご覧ください。
参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%85%A8% …
この回答への補足
質問が舌足らずでごめんなさい。
完全数の定義は、確かに「自分以外の約数の和が自分自身になる。」なのです。(6=1+2+3,28=1+2+4+7+14など)。その完全数の性質に「連続した自然数の和になる」というおもしろいものがある、ということです。
(28=1+2+…+7,8128=1+2+…+127など)
このおもしろい性質の証明が知りたい、というのが私の質問です。よろしくお願いします。
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