平行四辺形ABCDがある。辺AD、BC上にAE:ED=CF:FB=1:3となる点E、Fをとる。線分EFと対角線BDとの交点をGとする。
平行四辺形ABCDの面積は、四角形ABGEの面積の何倍ですか?
という問題です。
わからなかったので解答を見たら次のように書いてありました。
四角形ABGE=△ABG+△AGE=1/4(平行四辺形ABCD)+1/4×1/4(平行四辺形ABCD)
=5/16(平行四辺形ABCD)
となっていました。
四角形ABGE=△ABG+△AGEまではわかるのですが、それ以降の式がわかりません。
すいませんが詳しい解説をお願いします。
どうして、1/4(平行四辺形ABCD)+1/4×1/4(平行四辺形ABCD)の式が出てきたのですか?
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
>△ABG=△CDG=△ADG=△BCGとなることですか?もしなるとしたら、
>どうしてですか?
平行四辺形では、2本の対角線によって分けられた4つの三角形の面積
は等しくなります。
なぜかというと、図をかいて例えば△ABGと△ADGを見てください。
対角線はおのおのの中点で交わるので、BG=DGです。これらの辺を
それぞれの三角形の底辺とみると、もう一つの頂点Aはどちらの三角形
にも共通していますよね。ということは、高さに相当する部分(Aから
底辺に引いた垂線)は同じものになります。つまり、△ABGと△ADG
は、底辺が等しく高さも等しいので面積が等しいことになります。
他の三角形の組み合わせでも同様で、結局、△ABG=△CDG=△ADG=△BCG
となります。
この問題を解く場合、こういった方法もあるということで次に書いてみます。
(1)△AGEの面積を1とする
(2)AE:ED=1:3より△DEGは3になる
(3)△ABG=△ADGと、上の(1),(2)から、△ABG=△ADG=4
(4)△ABD=△ABG+△ADG=8
(5)平行四辺形は(4)より16
(6)四角形ABGEは(1)、(3)より5
(7)よって、四角形ABGEは 平行四辺形ABCDの 5/16倍
No.2
- 回答日時:
△ABDは平行四辺形の面積の1/2になります。
図を書けばよくわかると思いますが、線分EFは対角線AC、BDと同じ1点を通ります。よってAGは対角線ACの一部分なので△ABGは△ABDの面積の1/2になります。なので△ABGは平行四辺形ABCDの1/4になります。また、△AGDに着目すると△AGEは△AGDの1/4になることが分かります。△AGDは平行四辺形ABCDの1/4になるので△AGEは平行四辺形ABCDの面積の1/16になります。四角形ABGE=△ABG+△AGEなので
1/4+1/16=5/16となります。
数学は図が結構重要だと思います。フリーハンドでも結構綺麗に書けるようにしとくといいでしょう。
この回答への補足
平行四辺形ABCDの1/4となることは、
平行四辺形ABCDの対角線AC,BDを引き、その交点をGとしたとき、△ABG=△CDG、△ADG=△BCGの面積は同じですよね。さらに、△ABG=△CDG=△ADG=△BCGとなることですか?もしなるとしたら、どうしてですか?
No.1
- 回答日時:
解答には少し疑問を感じますが、解説します。
△ABGについてですが、BDは対角線で、EFは対辺を同じ比にとった線分です。すると、BDとEFの交点は対角線の交点と一致します。これは、平行四辺形の性質から導かれるものです。落ち着いて考えるとわかると思います。つまり、Gは対角線の交点でもあるのです。ですので、△ABG=1/2△ABD=1/4平行四辺形ABCDとなります。
次に、△ABEは、上と同様な考え方で、△AGD=1/4平行四辺形ABCDとなり、AE:ED=1:3で底辺の比を考えると△AGE=1/4△AGD=1/8平行四辺形ABCDとなります。後は、この二つの足し算です。
蛇足ながら、私なりの考えを載せたいと思います。
まず、補助線ACを引きます。四角形ABGE=△ABD-△DEGです。あとは、△EDGと△ABDが平行四辺形ABCDのどれくらいかを求めて考えればよいと思います。
とりあえず、補助線ACを引くことが大切です。
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