順列と組合せの区別

順列や組合せの問題でPやCを使って計算をします。
その時、どういう場合に、Pか、Cを使うのか、イマイチ良く分かりません。例えば、

(1)15人の中から図書委員、体育委員、広報委員各１人を選ぶ方法は何通りあるか。ただし、兼任は認めないものとする。

(2)１５人の生徒の中から４人の学習係を選ぶ方法は何通りあるか。という問題には

(1)はP、(2)はCを使います。

上記のような問題なら何とか分かりますが、応用になった時、計算する際どっちか、区別する方法を教えてください。お願いします。

No.1 回答者： noname#1525 回答日時： 2001/12/02 20:15

簡単に言えば、

(1)のように、それぞれ区別する場合はP、
(2)のように、選ぶときに区別しない場合はCを使います。

もうちょっと詳しく言うと、
異なるn個のものからr個とって１列に並べる→順列nPr
異なるn個のものからr個とる（１列に並べない）→組み合わせnCr

う～ん、実際に具体的な問題が有れば説明できるのですが…

この回答へのお礼

私は基本的なことから分かってませんでした。
皆さんの回答から理解する事ができました。
ありがとうございました。

お礼日時：2001/12/04 14:16

No.2 ベストアンサー 回答者： furu007 回答日時： 2001/12/02 21:38

順列や組み合わせは、その順序が大切です。

いま話題のロト６で考えてみましょう。ロト６は４２個の数字から任意の６個の数字を選ぶくじです。
ここで、引かれたくじの番号を「引いた順番通りに」ならべてみましょう。
３２、２７、１７、１５、３、２２
でも、いまのロト６の当選発表は、引いた順番ではなくて単に、小さいものから順に
３、１５、１７、２２、２７、３２
と発表されます。これが、まさに組み合わせで、順序を考えないものです。
仮に、引かれたくじの順番が、３２と２７が入れ代わりになっても、当選くじには影響しません。
こういった、順序が結果に影響しない場合は、組み合わせで42Ｃ6となります。

でも、引いた順序が結果に影響する場合はどうでしょうか？
ナンバーズや、普通の宝くじがこれにあたります。
引く順番を、千の位、百の位、十の位、一の位と抽選する場合、たとえば
６３２８
ならば、もし千の位の６と百の位の３の順序が逆ならば、３６２８となり
全く別の数字になってしまいます。こう言った場合は順列で各位は10Ｐ1
となり、４桁ならば10Ｐ1の４乗となります。
質問の例では、「兼任を認めない」とあるので、
例えば、太郎君が図書委員、花子さんが体育委員になった場合と、その逆では
結果が異なります。選挙は、兼任を認めていないので、選挙は同時ではなく、
図書、体育、広報と、順序だてて行われます。太郎君が一番目の選挙で選ばれるのは図書委員、
二番目で選ばれたら体育委員、選ばれる順序によって結果はかわります。
つまり順序が影響するので順列の計算になります。

１５人の生徒から学習係を４人選ぶ場合、太郎君が一番目に選ばれ、花子さんが二番目に選ばれるのと
その逆、花子さんが一番目、太郎君が２番目に選ばれるのは、同じ結果になります。
つまり、順序が影響しないので、組み合わせの計算になります。

適切な説明がうまくできなくてすみません。

この回答へのお礼

ものすごくご丁寧に誠に感謝します。
しかも、身近なことを取り上げて下さったので、分かりやすかったです。
ありがとうございました。

お礼日時：2001/12/04 14:19

No.3 回答者： bin-chan 回答日時： 2001/12/02 23:43

> 区別する方法を教えてください。

お願いします。

「Ｐ」はPosition（位置）のＰ、ＣはConbination（組み合わせ）のＣ。

（１）のパターンは「兼任なし」なので「選ばれた人はｘｘ委員」と決まる。
（２）のパターンなら「誰でも良いからとにかく４人」

なのでは？

この回答へのお礼

アドバイス頂きありがとうございました。
問題があった時にすぐ区別できるようにしたいです。

お礼日時：2001/12/04 14:22

No.4 回答者： 1006 回答日時： 2001/12/03 00:52

その、15人を、A～Oさんとします。

（ThisIsAPenさんの言葉をお借りします）
異なるn個のものからr個とって１列に並べる→順列nPr
すなわち、Aさん、Cさん、Hさん、が（この順に）もし選ばれたなら、Aを図書委員、Cを体育委員、Hを広報委員になりますよね。
また、もし、Cさん、Aさん、Hさん、がもし選ばれたなら、Cを図書委員、Aを体育委員、Hを広報委員になりますよね。
このように、選ばれた順番によって、誰が何委員になるかが変わってくるんです。だから、選んだものの並び方までかかわってくるんです。よって、ｎＰｒ。
異なるn個のものからr個とる（１列に並べない）→組み合わせnCr
すなわち、Ａ、Ｂ、Ｈ、Ｋさんが（この順に）選ばれたとします。この四人は、みんな学習委員になりますね。
でも、Ｂ、Ｈ、Ｋ、Ａさんの順番にえらばれたとしても、みんな学習委員になりますね。だから、選んだものの順番は関係ないんです。
別の見方をすると、ＡＢＨＫ，ＡＢＫＨ，ＢＡＨＫ、ＢＡＫＨ，ＫＨＢＡ，ＫＨＡＢ，ＨＫＡＢ、、、、、、というふうに、(1)の問題では、別と考えられてたものが、(2)の問題では同じ物（1通り）と考えられてしまいます。だから、ｎＰｒでは困るんです。
ｎＣｒ＝ｎＰｒ/ｒ！（自信がありませんが・・・・）ですよね。
だから、ｎＰｒから、そのかぶってる物を1とおりと考えるために、多い分を割ってやるんです。
ｎＰｒより、ｎＣｒの方が、数が小さくなってるはずです。

わかりにくかったかもしれませんが、参考になれば幸いです。

この回答へのお礼

＞わかりにくかったかもしれませんが
いや、とんでもないですよ。このように説明をしただけると分かりやすいです。
ありがとうございました。

お礼日時：2001/12/04 14:26

No.5 回答者： noname#7269 回答日時： 2001/12/03 12:50

Ｐは英語で順列を表す　Permutation　の頭文字です。

難しくいっても分からないと思いますので。
(1)　５人を「ただ」選ぶ（区別をつけない）のとき、Ｃ
　　つまり、５人のコンビ（みんな同じ・・優劣がついて　　いない）
(2)　５人を選び、順番「いろんな意味での優劣をつける」　　のとき、Ｐ

質問の例では大丈夫！ということなので
区別が難しい問題の例でもあれば・・・

この回答へのお礼

本日、テストでした。皆さんのアドバイスを参考にさせて頂いたので（もちろん、namimanaさんのアドバイスもです。）いい結果を期待したいと思います。
ありがとうございました。

お礼日時：2001/12/04 14:29