楕円（二次曲線）と直線の問題がわかりません

大学の幾何学の授業での問題なのですが
楕円上の二点P、Qを通る直線PQと焦点Fに対する準線との交点をRとすると、直線FRは∠PFQまたはその外角を二等分することを示すという問題です

まず、図を書いて見ましたら確かにそのようになるようでした
初めにFを基点としたベクトル空間を用いて解こうとしました。R↑=α(P↑+-Q↑)になればいいと思ったのですが上手くいきませんでした
なのでFを基点とする極座標系で考えているのですが直線PQの極方程式を求める際に直交座標系に置き換えて求めざるを得ないためにかなりの計算量が必要であると思います
これでは直交座標系上で地道に計算していくのと変わらないと思います
というのは、この課題を課した教員はそのような力技で解くようなことは嫌う人間で、そのような方法を用いずにもっとスマートに解けるはずなのです。
何か見落としているのでしょうか？それとも極座標系上でひたすら計算していくのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2006/01/17 12:56

楕円の離心率をeとおきます。

楕円上の点Pから準線に下ろした垂線の足をHとした時、FP:PH=e:1が成り立ちます。

これより、PF:FQ=PR:RQとなる事が分かるので、従って
＞直線FRは∠PFQまたはその外角を二等分する
が言えますね。

しかし、「∠PFQまたはその外角」とありますが、直線FRが∠PFQ(外角ではなく)を二等分する事ってあるんでしょうかねぇ？？ないような気がするのですが^^;

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
着眼点が変わるだけで簡単な問題でした

＞直線FRが∠PFQ(外角ではなく)を二等分する事ってあるんでしょうかねぇ？
じつはこの問題では楕円（双曲線）と書かれており双曲線の場合でも同じ議論で解決できるのですが双曲線の一方の枝に二点をとった場合は外角を二等分し、２つの枝からそれぞれ１点ずつとった場合は∠PFQを二等分するということです

お礼日時：2006/01/20 01:36