点Rが線分PQを次のように外分するとき、OR→をOP→=p→、OQ→=q→を用いて表せ。
(1)5:3に外分する。
(2)1:4に外分する。
この問題の(1)と(2)のkの導き方が良く解りません
教科書には、
k=PR/PQ=5/2(>0)<-これがわかりません。
OR→=(1-k)op→+kOQ→=-3/2p→+5/2q→ となるのですけど、
上のORの式は分点比公式より、導くのですが
肝心のkの求め方と意味がよくわかりません。
(2)はK=-PR/PQ=-1/3となっていて
Kの値というのは、m/m+n のことなのでしょうか??(mとnは比の関係?だと思います。。。)
つまり、k=m/m+nと覚えればいいのでしょうか>_<
ごめんなさい、kについてよくわかりません。。
誰か教えてください。
No.7ベストアンサー
- 回答日時:
今やりたいことは,外分点についての分点比の公式を導くことです。
ですから,分点比の公式を使うことはできません。
内分点の分点比の公式を導いたように,ベクトルの基本の概念
(ベクトルABを\ABと書くことにします)
\PQに平行なベクトル\PRは,\PR=k\PQ と表せる
(|k|=PR/PQ,
kの符号は\PQと\PRが同じ向きのとき+,逆向きのとき-)
を使います。
(1) 5:3 の外分点のとき,
P,Q,R の順に並んでいて,PR=5,QR=3 なので,PQ=2,
\PR は \PQ と同じ向きなので k=5/2
(2) 1:4 の外分点のとき,
R,P,Q の順に並んでいて,PR=1,QR=4 なので,PQ=3,
\PR は \PQ と逆向きなので k=-1/3
そして,
\OR=¥OP+¥PR=¥OP+k\PQ
=¥OP+k(¥OQ-\OP)=(1-k)\OP+k\OQ
と計算します。(kには上で得た具体的の数を書きます)。
これを一般的にすると
\OR=(-n\OP+m\OQ)/(m-n)
になります。
No.8
- 回答日時:
#5の回答を書いたものです。
手前味噌ですみませんが、
ざっと皆さんの回答含め、ざっと見渡したところ、
私の考え方が、もっとも分かりやすいです。
私は、内分や外分の公式なんか覚えたことがありません。
公式を導く考え方だけ覚えています。
逆に言えば、覚えるもんじゃありません。覚えたほうが間違いやすいです。
-----------------------
いま、文部科学省のサイトで、現在の学習指導要領を見ましたけど、
高校で覚えておきたい公式
(すなわち導出から考えてると時間がかかる公式)
と言えば、はっきり言って下記ぐらいです。
・xのn乗 をxで微分したら nかけるxの(n-1)乗
だから、xのm乗を積分したら 1/(m+1)かけるxの(m+1)乗
ただし、mが-1のときだけは、積分したらlog|x|
・sinθ をθで微分したら cosθ
・conθ をθで微分したら
・eのx乗 をxで微分したら 微分する前と、ちょうど同じ
・2点間の距離は、ピタゴラスの定理で求められる。
・円周角は中心角の2分の1
・(a+b)(a-b) = a^2-b^2
だから、長さ(=2a)が一定の紐で輪っかをつくり、長方形にしたとき、bがゼロのとき、つまり、正方形のときに一番面積がデカい。
また、
5004 × 4996 = 25のうしろにゼロ6つ - 16
----------------------
等比級数の和を求めるにしても、
公式なんか覚えなくても、
S = 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243
3S = 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729
3S-S ( = 2S ) = 729 - 1
S = 728/2
これを一般化(≒法則化、公式化)すれば
S = Σ(k=0~n) a^k
aS = Σ(k=1~n+1) a^k
だから、
aS - S = (a-1)S = a^(n+1) - a^0
よって、
Σ(k=0~n) a^k = S = { a^(n+1) - a^0 }/(a-1)
= { a^(n+1) - 1 }/(a-1)
kを1から始めれば、
Σ(k=1~n) a^k = { a^(n+1) - a^1 }/(a - 1)
= { a^n - 1 }/(1 - 1/a)
= { 1 - a^n }/(1/a - 1)
もしも、a = 1/3 だったら、
左辺は、1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243 + ・・・
右辺は、{ 1 - (1/3)^2}/(3-1) = ( 1- 1/3^n)/2
だから、nの無限まで足し算したら、
1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243 + ・・・= 1/2
ついでに、
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ・・・ = 1
だから、
正方形の折り紙・千代紙の面積は、大きな二等辺直角三角形から始めて、面積半分、半分、半分・・・・・ずつしていった全ての二等辺直角三角形の面積の和になる。(当たり前)
-----------------
比較的複雑なものでは、2次方程式の解の公式とか判別式がありますが、
その公式を忘れても、
ax^2 + bx + c = 0
x^2 + b/a・x + c/a = 0
x^2 + 2・b/(2a) + {b/(2a)}^2 = {b/(2a)}^2 - c/a
= (b^2 - 4ac) / 4a^2
x + b/(2a) = ±√(b^2 - 4ac) /(2a)
x = 1/2a・{-b ±√(b^2 - 4ac) }
-----------------
場合の数、確率の系統は、公式覚えないほうが分かりやすいです。
5枚の異なるカードから3枚選ぶ組み合わせ
5C3
1枚目5種類から、2枚目は残りの4種類から、3枚目は残りの3種類からだから、
5×4×3
だけど、3枚のカードは、並び替えが可能なので、
3!で割らないといけない
だから、
5C3 = 5×4×3÷3!
これ、
nCr = n!・(n-r)!/r!
なんていう公式で覚えたら、確実に忘れるし、いつか必ず間違えますよ。
では、私の前回回答に、文字kを入れてみましょうか。
---------
「外分」という言葉は、20年以上聞いていないので忘れました。(笑)
たぶん、Rから見て、Pまでがa、Qまでがb。
(ただし、a>b)
Qは、PとRの間。
QからPまではa-b。
ふむふむ。
ということは、
Pを始点として、ベクトルPQ→と同じ方向のベクトルがQを突き抜けて、長さがPRになればよいので、
PRの長さというのは、
PQのk倍
=a/(a-b)倍
のようが気がしますが、いかがですか?
ということは、
OからRまで行くには、
OからPに行く = OP→
PからRに行く = PQ→のk倍( a/(a-b)倍)
だから、
OR→ = OP→ + 2.5×PQ→
= p→ + k(q→ - p→)
= p→ + a/(a-b)(q→ - p→)
というふうに考えるのかな?
--------------
つまり、公式なんか覚えないほうが、問題を解きやすい、ということです。
公式に頼る人は、こういう問題で、どれかの数字のプラスとマイナスが単純に逆になっただけでパニックになります。
No.6
- 回答日時:
内分:RがPとQの間にある(線分PQ上にある)。
外分:Rが線分PQの外にある。
上記をふまえた上でQがPの左側にあるとして
PR:RQ=5:3になるようなRをPQの外で探すと
Pから右へPQの5/2倍だけ離れた点がRになりますね。
このとき PR:PQ=5/2:3/2=5:3
PR:RQ=1:4になるようなRをPQの外で探すと
Pから左へPQの1/3だけ離れた点がRになりますね。
このとき PR:RQ=1/3:(1/3+1)=1:4
お分かりでしょうか?
No.5
- 回答日時:
「外分」という言葉は、20年以上聞いていないので忘れました。
(笑)たぶん、Rから見て、Pまでが5、Qまでが3。
Qは、PとRの間。
QからPまでは2。
ふむふむ。
ということは、
Pを始点として、ベクトルPQ→と同じ方向のベクトルがQを突き抜けて、長さがPRになればよいので、
PRの長さというのは、PQの2.5倍のようが気がしますが、いかがですか?
ということは、
OからRまで行くには、
OからPに行く = OP→
PからRに行く = PQ→の2.5倍
だから、
OR→ = OP→ + 2.5×PQ→
= p→ + 2.5・(q→ - p→)
というふうに考えるのかな?
(勿論、2.5は、5/2と書くほうがよいです。)
私、計算が苦手なので、検証してください。
No.4
- 回答日時:
No.3
- 回答日時:
うまい外分の解説が見つかりませんでした
まずは内分。
http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/restudyV …
外分とは以下のような分け方をいいます。後半の目分量問題は解けないでしょうが(笑)、
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/iti_vecto …
ABベクトルをOBベクトルとOAベクトルで表し、・・・その1
APベクトルをABベクトルであらわしてみてください。・・・その2
その2にその1を代入してください
同じ要領で(1)も(2)も出来ますよ。解らなかったらまた聞いてください
No.2
- 回答日時:
↓ さっきのは途中で送信しました。
#はベクトル→の事です。
→が面倒だったので勝手に#に決めました。
図のnの長さの線はQR間にしたのに、ずれちゃってます。
ごめんなさい。
No.1
- 回答日時:
PQをm;nにする外分点Rとは、
Pからm進んでR、n戻ってQになる点。
図にすると
*------ m----------*
*---n---*
P----------Q-------R
なので、PQ:PR = m-n : m
になるのです。
方向もPQ#とPR#は同じなので、
PR#={m/(m-n)}PQ#
OR#-OP#={m/(m-n)}(OQ#-OP#)
OR#={m/(m-n)}OQ#+{-n/(m-n)OP#}
と計算できます。これはKを使わないやり方です。
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