片持ち梁のたわみについて（断面２次モーメント？）

　片持ち梁のたわみについて質問します、たとえば梁の断面を長方形として寸法を幅ａ高さｂとした場合断面２次モーメントはab3/12となり、梁に同じ重さのものがぶら下がっている場合、たわみは梁の幅ａが2倍になるとたわみが1/2となりまた高さｂが2倍になると8倍になるという事になると思います。
　そこで質問なのですが、全く同じ棒を用い縦に並べた場合は、高さが２倍の棒を使うように１/８になるのでしょうか(横に並べた場合にはそれぞれにかかる重さが１/２でたわみも1/2になると思いますが)

No.3 ベストアンサー 回答者： k_riv 回答日時： 2006/05/13 05:13

長さ（L），ヤング係数（E)，断面２次モーメント（I)の片持ち梁の先端に集中荷重（P)が作用したときの梁先端のたわみは，

δ＝PL^3/3EI　　・・・（１）
です。この時，梁の断面を幅（ｂ），成（ｈ）とすると，断面２次モーメントは，
I=bh^3/12　　　・・・（２）です。（２）を（１）に代入すると，
δ＝12P・L^3/3Ebh^3　　　・・・（３）
ここで，α＝L^3/3bh^3と置くと，（３）式は，
δ＝12P・α　　　・・・（４）
と表せます。

梁が，横に並んでいる場合は，
I=(b+b)h^3/12=2・bh^3/12　
となり，（１）式に代入すると，
δ=1/2・12P・α　・・・（５）
となり，たわみが1/2になります。

今度は，高さが２倍になったとき，
I=b(2h)^3/12=8・bh^3/12
同様に，（１）に代入すると，
δ=1/8・12P・α　・・・(6)
になり，たわみが1/8になります。

さて，ここからが本番で，
縦に並んだときは，上材と下材の間に摩擦力が働き，この摩擦力は，摩擦力＝荷重ｘ摩擦係数で表すことが出来ます。ここで，荷重（P)が小さいときは，摩擦力によって材料の接触面は滑らず，滑りが始めるのは，許容摩擦力を超えたときである，と仮定します。又，許容摩擦力は，この梁が耐え得る最大曲げ荷重の摩擦係数倍であると，定義すると，最大曲げ荷重：Py，摩擦係数：μ
許容摩擦力：Pf=μPy
です。

ここで，荷重（P)＜許容摩擦力（Pf)の場合は，上材と下材が一体として働きますので，たわみは，(6)と同じになります。

さて，それでは，許容摩擦力（Pf)＜荷重（P）の場合のたわみは，許容摩擦力（Ｐf)までは，一体として働き，滑り始めた後は，別の材料として働くと考えることが出来ます。つまり，
δ=（1/8・12P・α）＋(1/2・12(P-Pf)・α)　
δ=1/2・（12P-9Pf)・α　　　・・・（７）
と表すことが出来ます。

ここで，摩擦力の生じない場合は，Pf=0なので，
δ=1/2・12P・α
となり，横に並べたとき（５）と同じ，
上材と下材が完全に固定されている場合は，全く滑らないのでμ=１，Pf=Pで，
δ=1/2・3P・α=1/8・12P・α
となり，高さが２倍の時（６）と同じになります。

因みに，通常の材料では，材料間の摩擦係数がμ=1/3程度と言うことが多いので，μ=1/3を採用し，最大荷重の時（Py)を考え，（７）に代入すれば，
P=Py，Pf=Py/3
δ=1/2.6・12Py・α
αを元に戻すと
δ=1/2.6・12Py・L^3/3Ebk^3=PyL^3/(3E(2.6bh^3/12))
I=2.6bh^3/12
程度の数値になります。
これが。＃１さんの仰有る，断面２次モーメントが「２倍ぐらい」，たわみが「１／２」ぐらいの意味です。

以上，参考にしてください。

この回答へのお礼

非常に詳しい解説ありがとうございました。納得しました。

お礼日時：2006/05/15 11:48

No.2 回答者： semi-zzz 回答日時： 2006/05/11 18:08

＃１です。

摩擦などがなく両者が単純に並んでいる状態はモデル化すると、片持ち梁をならべて、自由端同士を剛体でピン接合したようになると考えられます。
これは柱が２本あるような状態ですので、２倍になると考えました。
数値的に求めるのでしたら、上記をラーメン構造として解いてみれば撓みの正解が求まると思います。

ちなみに完全に一体化しないと８倍にならないことは、実際に単純支持梁で試験を行ったことがあるので、私としては経験済みです。

No.1 回答者： semi-zzz 回答日時： 2006/05/11 13:59

接着剤などにより完全に一体化させた場合、高さが２倍になったことになりますが、単に重ねただけの場合はなりません。

横に並べた場合はバネが並列されたことになり、均等に荷重が負担されれば、それぞれにかかる荷重は半分になりますので、たわみも半分になります。

縦に並べた場合は、それぞれが完全に自由に動ける状態でしたら、断面２次モーメントが２倍ぐらいになるだけです。

しかし、実際問題は重ねた部分の摩擦などにより抵抗が生じますので、実際はその影響により断面２次モーメントとはもう少し高くなります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。断面2次モーメントが2倍くらいになるという事は，たわみは1/2となるということでしょうか？2倍くらいというのは式としても表せれるのでしょうか質問ばかりで申し訳ありません。

お礼日時：2006/05/11 17:14