等加速度運動の問題（長めの文です・・・）

土日の宿題で分からないものがあるので教えてください。

初速度20m/s、加速度-4m/s^2で動く物体の速度が-12m/sとなるまでに何秒かかるか。またそれまでの走行距離lはいくらか。

僕はグラフを書いてやり、何とか正解を導くことが出来ましたが、模範解答が理解できません。

＜模範解答＞
折り返し地点をx1とすると、x1における速度ｖは0なので、
0^2-20^2=2*(-4)*x1 より　x1=50
また、Uターンを終えて速度が12m/sになる点をx2とすると
12^2-20^2=2*(-4)*x2 より　x2=32
ゆえに、l=50+(50-32)=68m

分からないところは二つです。位置と速度の公式に代入しているのはわかります。まず、模範解答の３行目と４行目がどうして成り立つのか、この式を立てたのかということがわかりません。折り返し地点を初速度とでもしたのでしょうか。
もうひとつは、ゆえにの後です。

よろしくお願いします。長文すみませんでした。

No.5 ベストアンサー 回答者： turbo27 回答日時： 2006/05/22 22:31

ごめんなさいｗ。

数直線のスペースの幅が、表示される時ボロボロになってしまったので修正してたんですが…。
間違ってそのまま投稿を押してしまいました。困った困ったｗ。
一応修正したんですが、ちゃんと表示されてますかねぇ…、
こんな感じです。
修正後---------------------------------------------------------
これを数直線で見ると、最初の位置が０で右に向かって物が初速度20m/s、加速度-4m/s^2で動いた時、５秒後に折り返し地点である50mの「位置」にきます（この時の速度は0m/s）。これがx1です。

その後折り返し、８秒後（折り返してから３秒後）に32mの「位置」にきます（このときの速度が12m/s）。これがx2です。

|￣￣￣￣￣|￣￣￣￣￣|￣￣￣￣￣|￣￣￣￣￣|￣￣￣￣￣|￣￣￣
0　　　　　　　10　　　　　　　20　　　　　　30　　　　　　　40　　　　　　50
●→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→●
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　x1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　●←←←←←←←←
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　x2

x2は「原点からの距離」も32m、「位置」も32mですが、「移動した距離」は32mじゃないのが分かると思います。

ですから混同しないように、「位置」と呼ぶ事とします。
すると「位置」は32mですが、問題では「移動した距離」を求めたいので
・折り返し「位置」までの「移動距離」である50mと、
・押し返してからの「移動距離」である50-32=18m
を足して68mという事です。
----------------------------------------------------------------

No.4 回答者： turbo27 回答日時： 2006/05/22 22:04

Ｎｏ．４です。

＞しかし、「折り返してからの移動距離」の50m-32m = 18m を足して６８ｍにしている訳です。
というのが分かりません。

分からない所がどこか分からないのでｗ
「おそらくここが疑問なんだろう」というのを推測して、
いくつかの考え方を書きますねｗ。


＞一番最初からの距離を比較するとx2>x1ですよね。よって、32-50ではないのでしょうか。x1=一番最初から、折り返し地点までの距離、x2=一番最初からx2までの距離ですよね。

と言う所から、たぶん「距離」と言う日本語が混乱の原因かなと思うので言葉を「位置」と変えましょう。日本語っていくつかの意味に取れてしまうので…。
距離と言うと「移動した距離」と「原点からの距離」がごっちゃになって誤解しそうですが、公式から出てくるこの場合の距離は「原点からの距離」です。

どこが違うかと言うと・・・、
これを数直線で見ると、最初の位置が０で右に向かって物が初速度20m/s、加速度-4m/s^2で動いた時、５秒後に折り返し地点である50mの「位置」にきます（この時の速度は0m/s）。これがx1です。

その後折り返し、８秒後（折り返してから３秒後）に32mの「位置」にきます（このときの速度が12m/s）。これがx2です。
（数直線が途中で改行されないよう、ブラウザの幅を大きくして見て下さいね）

|－－－－－|－－－－－|－－－－－|－－－－－|－－－－－|－－－
0　　　　　10　　　　20　　　　　30　　　　40　　　　　50
●→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→●
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　x1
●←←←←←←←←
x2

x2は「原点からの距離」も32m、「位置」も32mですが、「移動した距離」は32mじゃないのが分かると思います。

ですから混同しないように、「位置」と呼ぶ事とします。
すると「位置」は32mですが、問題では「移動した距離」を求めたいので
・折り返し「位置」までの「移動距離」である50mと、
・押し返してからの「移動距離」である50-32=18m
を足して68mという事です。

もちろん x1 > x2 なのは分かると思いますｗ。
原点からの距離が最大になるのは折り返した「位置」x1の50mで、
[ x1 > 他のｔ秒後のすべての位置 ]となります。



別の考え方でみましょう。
距離と時間の関係の公式で見てみましょうか。
[ s = vo t + 1/2 a t^2 ]
[距離＝初速度*時間＋1/2*加速度*時間^2]ですね。

これに初速度20m/s、加速度-4m/sを当てはめてみると
s = 20t + 1/2(-4)t^2 になります。
これを計算すると
s = -2t^2 + 20t
s = -2(t^2 -10t)
因数分解すると
s = -2(t-5)^2 + 50

なのでｔ＝５秒の時に距離sは最大の50mだと分かります。
これはNo.4で前述した「ｘが時間、ｙが距離のグラフ」にした時の式、二次関数になりますね。
グラフの図はyの最大が50mの放物線（二次曲線）です。

これを分かりやすく考えると・・・、
地球よりも小さい重力加速度-4m/s^2 の星で、真上に向かって初速20m/sでボールを投げ上げた時のボールの高さを出してます。

地表の「高さ」が0m→5秒後に「高さ」50mになるのが最大で（x1）→その後は投げ上げた向きと反対方向（下向き）に加速しながら落ちてきて→速度12m/sになった時の「高さ」は32mで（x2）→最後は地表0mに落ちます。

投げ上げてから落ちてきて12m/sになるまでのボールの「移動距離」は
・投げ上げてから最高点の「高さ」（折り返し点）の50mと
・落ちてきてから速度12m/sになった時の「高さ」32m
→でも「移動距離」は50-32=18m
を足して68mです。

ここでも最高点はx1で、x1 > x2 なのは分かると思います。
[ x1 > 他のt秒後の全ての高さ ]となりますね。

No.3 回答者： turbo27 回答日時： 2006/05/21 18:16

もうグラフなどを書いて自分なりに答えも出して正解し、模範解答のほうの考え方の理解の仕方がわからないと言う事ですよねｗ。

オッケーです。

まずあなたの言うとおり位置と速度の公式に代入しています。
[ 速度^2-初速度^2 = 2*(加速度)*距離 ]ですね。
ここから距離を求めてます。

３行目と４行目は速度１２m/sになる点が、原点（動き始めの場所）からどれくらいの距離かを求めています。
この時１２m/sになるのは
１．折り返す前の、減速しながら１２m/sになった時
２．折り返した後の、加速しながら１２m/sになった時
の２箇所あるのが分かります。ここが疑問になった部分だと思います。
この２箇所の場所は原点からの距離は同じです。

「時間」が経つごとに「原点からの距離」が限りなく「ある点」（折り返し点）に近づいていき、「ある点」になったら折り返して距離が減って行く（原点０に近づいていく）。
ｘが時間ｙが距離のグラフにすれば折り返し点（５０ｍ）を頂点にした放物線（二次曲線）になります。その時「２秒後（の速度１２m/sの時）」と一度折り返した後の「８秒後（の速度１２m/sの時）」の「原点からの距離 = y」は同じ３２ｍの訳です。

Ａ１．ですから４行目の x2 = 32m は原点からの距離を出してます。
初速度は「折り返し地点」ではなく、最初の「２０m/s」ですね。

Ａ２．「ゆえに」の後は「原点からの距離」ではなく「移動した距離」を出したいので、まず「原点から折り返すまで移動距離」の50mと、「折り返してからの移動距離」の50m-32m = 18m を足して６８ｍにしている訳です。

この回答への補足

親切にどうもありがとうございました。おかげさまで大体理解することが出来ました。
しかし、「折り返してからの移動距離」の50m-32m = 18m を足して６８ｍにしている訳です。
というのが分かりません。すみません。一番最初からの距離を比較するとx2>x1ですよね。よって、32-50ではないのでしょうか。x1=一番最初から、折り返し地点までの距離、x2=一番最初からx2魔での距離ですよね。
本当にバカですみません。どうか教えてください。

補足日時：2006/05/22 07:00

No.2 回答者： ojisan7 回答日時： 2006/05/21 16:43

>僕はグラフを書いてやり、何とか正解を導くことが出来ましたが、模範解答が理解できません。

それでよいと思います。グラフを描いて、正解が導ければそれで良いのです。＜模範解答＞は必ずしも、真の意味で＜模範解答＞にはなりません。ここにある、＜模範解答＞はオススメできません。

No.1 回答者： oiwae 回答日時： 2006/05/21 15:29

問題文がよくわからないので

問題文をお願いします