行列の証明がわからない！！

だいぶ考えたんですけど、わからないんで解説付きで教えて下さい。
n次正方行列Ａ,ＢがＡＢ=ＢＡを満たす時,次の事を証明せよ。
1)Ａの固有ベクトルはＢの固有ベクトルである。
2)ＡＢとＢＡの固有値は等しい。
1)はまったくわからないんです。2)はＡＢとＢＡは同じなんじゃないのかなって思うんですけど、違うんですかね？

No.1 ベストアンサー 回答者： nuubou 回答日時： 2002/03/02 19:44

１）は私も分かりません

２）「ＡとＢがＡ・Ｂ＝Ｂ・Ａとは限らないｎ次正方行列であるときＡ・Ｂの固有値とＢ・Ａの固有値は等しい」ことを証明せよ

証明：
・Ａが正則であるとき
λを複素数の変数とする
（Ｂ・Ａ－λ・Ｅ）＝Ａ＾（－１）・（Ａ・Ｂ－λ・Ｅ）・Ａであるから
｜Ｂ・Ａ－λ・Ｅ｜＝|A|＾(-1)・｜Ａ・Ｂ－λ・Ｅ｜・|A|＝｜Ａ・Ｂ－λ・Ｅ｜
従ってＡ・Ｂの固有多項式とＢ・Ａの固有多項式が一致するので明白
・Ｂが正則であるとき
同様に明白
・Ａが正則でなくＢが正則でないとき
｜Ａ・Ｂ－０・Ｅ｜＝｜Ａ・Ｂ｜＝０であるからＡ・Ｂは固有値０を持つ
｜Ｂ・Ａ－０・Ｅ｜＝｜Ｂ・Ａ｜＝０であるからＢ・Ａは固有値０を持つ
すなわち０はＡ・Ｂの固有値であり０はＢ・Ａの固有値である
λ（≠０）をＡ・Ｂの固有値としｖ（≠０）をλに対応する固有ベクトルとする
このとき（Ａ・Ｂ）・ｖ＝λ・ｖである
Ｂ・ｖ＝０とするとｖ＝（Ａ・Ｂ）・ｖ／λ＝Ａ・（Ｂ・ｖ）／λ＝０だからＢ・ｖ≠０
一方（Ｂ・Ａ）・（Ｂ・ｖ）＝Ｂ・（（Ａ・Ｂ）・ｖ）＝Ｂ・（λ・ｖ）＝λ・（Ｂ・ｖ）
Ｂ・ｖ≠０だからλはＢ・Ａの固有値である
すなわちλがＡ・Ｂの固有値ならばλはＢ・Ａの固有値である
同様にしてλがＢ・Ａの固有値ならばλはＡ・Ｂの固有値である

この回答へのお礼

わかりました。つまり、ＡＢ＝ＢＡでなくてもＡＢとＢＡの固有値は等しくなるんですね。ありがとうございました。

お礼日時：2002/03/03 11:24

No.2 回答者： kony0 回答日時： 2002/03/03 00:54

1)について、ものすごく荒っぽい「式いじり」だけしてみました。

議論の詳細は私にはよくわかんないです。ごめんなさい。
もちろん、「自信なし」です。

Aの固有値aに対する固有ベクトルをvとおく。
すなわち、Av=av, v≠0
条件式の右からvをかけて、ABv=BAv=B(av)=aBv
これにより、BvはAの固有値aに対する固有ベクトルであるといえる？
（Bv≠0なら・・・）
すなわちBv=bvといえる？（Aの固有値が重解じゃなければ・・・固有値とその固有ベクトルは１対１対応してるんじゃないかと思うんですが・・・）
すなわちvはBの固有ベクトルでもある。■

この回答へのお礼

ANo.#1をみると、Bv=0にはならないなので、BvはAの固有値aに対する固有ベクトルであるといえますよね。こういうやり方は思いつきませんでした、ありがとうございました。

お礼日時：2002/03/03 11:36