数列の問題なのです。「a[1]=1, a[1]a[2] + a[2]a[3] +・・・・・・・・+a[n]a[n+1] =2(a[1]a[n] + a[2]a[n-1] + ・・・・・・・+a[n]a[1] ・・・(*) このときa[n]=nを数学的帰納法を用いて証明せよ」
この(*)の式の右辺がよく分かりません。左辺はn=1のとき a[1]a[2]で、n=2のときa[1]a[2] + a[2]a[3]というようになると思うのですが、右辺はn=1のとき、n=2のときはそれぞれどのように考えればよいのでしょうか。解答を見てもよく分かりません。よろしくお願いします。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
右辺の2(……)の中は、
2つのa[]を掛け合せたものの和のようですから、
前のa[]と後ろのa[]を別々に考えてみましょう。
まず、後ろのa[]を隠してみると、
a[1]■ + a[2]■ + …… + a[n]■
ということですから、
a[1]からa[n]まで、n個の項が登場している
ということが分かります。
例えばn=4ならば
a[1]■ + a[2]■ + a[3]■ + a[4]■
という形のはずです。
次に前のa[]を隠すと
●a[n] + ●a[n-1] + …… + ●a[1]
となり、これは先ほどの並びを逆順にしたものです。
したがって、n=4のときの全貌は
a[1]a[4] + a[2]a[3] + a[3]a[2] + a[4]a[1]
となります。ここで注目しておくとよいのは、
(1)項数は4個(一般にはn個)である
(2)どの項も、番号の和が5(一般にはn+1)になっている
ということです。
さて、こういうのはn=1とかn=2の場合のほうが
かえって難しいものです。
さきほどn=4の例を挙げましたから、
nを1つずつ減らして考えてみましょう。
n=4のときは4項の和であり、a[1]a[4] + a[2]a[3] + a[3]a[2] + a[4]a[1]
n=3のときは3項の和であり、a[1]a[3] + a[2]a[2] + a[3]a[1]
n=2のときは2項の和であり、a[1]a[2} + a[2]a[1]
n=1のときは1項の和であり、a[1]a[1]
ちなみに、Σを使えば
(右辺) = 2Σ(k=1からnまで)a[k]a[n+1-k]
となります。
zabuzaburoさんこんにちは。おへんじどうもありがとうございます。なるほど、別々に分けて考えてみるとすっきりしますね。それと、1,2,3・・・n というように推移する数列は何でも出てくるのですが、n,n-1,n-2,・・・,1というように推移する数列は初めてだったので、混乱していましたが、1,2,3・・・n と同じように考えれば良かったんですね。わかりやすかったです。どうもありがとうございました。
No.2
- 回答日時:
n=1の時右辺=2(a[1]a[1])では?
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