大学卒業してますが、どういうわけか数学を勉強してます。ご教授ください。
1) ax+by+c
h=--------
√a^2+b^2
という公式ご存知でしょうか?
とある点P(x、y)と、とある直線ax+by+cとの距離を求める公式です。ぼくの参考書にはこれを覚えようとしか書いていず、面白くありません。
さるでもわかるようにこの公式を教えてくれるかた、よろしくお願いします。
(ただ、表とか描けないから大変かな?)
あと、もし公式の成立(帰納)をわかりやすく書かれている参考書をご存知でいらしたら教えてください。
2)定点について教えてください。
ある参考書の解説を読んでいました。
解説)直線2x+ky+1=0という式があったとします。kにいろんな値を代入することでさまざまな直線になりますよね。
さまざまな直線になりますけど、この直線はどれもあるひとつの点をとおります。この点を定点という。
と参考書に書いてあります。
そして問題文を見てわからないことがありました。
****+問題******
定点a(1、1)と直線l;kx+(k+1)y-2=0がある。
(1)kのあたいにかかわらず、直線lのとおる定点bの座標をもとめよ。
==
これを読んで、なんで定点が二つもでるの(aとb)?と思いました。
こんなことを知らなくても問題は解けるのですが、本当にわかった気がしなくて・・・。なんで定点がaとbがあるのかふしぎです。さきの解説を前提にするとひとつの直線に定点はひとつのはず。定点とはなんでしょうか?お願いします。
No.6
- 回答日時:
みなさんの解でもベリーベリーOKなんですが、ベクトルでやると滅茶簡単ですよ。
この方法も人によってクセがあるがひとつだけやる。点P(p、q)から、直線L:ax+by+c=0におろした垂線の長さを求める。垂線の足を点H(r,s)とする。
直線Lの法線ベクトルAは →n=(a,b)
とすると、→n〃→PH (〃は平行という意味)
→PH・→n=|→PH||→n| or -|→PH||→n|
∴|→PH・→n|=|→PH||→n|
⇔|→PH|=|→PH・→n|/|→n| …(☆)
さて、
→PH・→n
=(p-r,q-s)・(a,b)
=ap-ar+bq-bs
=ap+bq+c (∵-ar-bs=c)
∴|→PH・→n|=|ap+bq+c|
また、|→n|=√a^2+b^2 なので、☆式は、
|→PH|=|→PH・→n|/|→n|
=|ap+bq+c|/√a^2+b^2
以上!
(2)は日本語を勉強すること。ていうか、定点が2個あっちゃいけない理由を10字以内でお礼にまとめよ。
No.5ベストアンサー
- 回答日時:
(1)
直線lの方程式を、
ax+by+c=0 ・・・ [1]
定点Pの座標を、
(x_1,y_1)
とする。
直線lと直交し、定点Pを通る直線mの方程式は、
b(x-x_1)-a(y-y_1)=0
bx-ay-bx_1+ay_1=0 ・・・ [2]
である。
[1]×bより、
abx+b^2y+bc=0 ・・・ [1]'
[2]×aより、
abx-a^2y-abx_1+a^2y_1=0 ・・・ [2]'
ここで、[1]'-[2]'から、
(a^2+b^2)y=abx_1-a^2y_1+bc
y=(abx_1-a^2y_1+bc)/(a^2+b^2) ・・・ [3]
また、[3]より、
x=(-by-c)/a
これに、・を代入して、
x=(-b^2x_1+aby_1+ac)/(a^2+b^2) ・・・ [4]
直線lと定点pの距離をdとすれば、
d=√{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}
であるから、これに、[3]と[4]を代入して、
d=√[{(a^2x_1+aby_1+ac)^2+(abx_1+b^2y_1+bc)^2}/(a^2+b^2)^2]
=|ax_1+by_1+c|/√(a^2+b^2)
(2)
この解説が、少々誤解を招く書き方になっているようです。定点とは、読んで字の如く、定まった点のことです。必ずしも、任意のkに対する直線が共通に通る点というわけではありません。ですから、定点は、いくつ出てきても問題はありません。
実際、kx+(k+1)y-2=0が、任意のkに対して共通に通る点は、(-2,2)であって、(1,1)ではありません。
回答ありがとうございます。
1)の回答はまだ理解できていません。考えてみます。
2)はすっきりしました。でも、任意のkに対する直線が一つ疑問が共通に通る点はなんというのでしょう?やっぱり定点なのでしょうね。
またよろしくお願いします。
No.4
- 回答日時:
まず 1)から
|ax+by+c|
厳密にいうと、公式は h=--------- (分子に絶対値が必要)です。
√a^2+b^2
(あと、直線はax+by+c=0ですよ。)
点Pを通り直線Lに垂直な直線MがLと交わる点をQとしたとき、点Pと直線Lの最短距離は、線分PQの長さです(図を描いてみるとわかりやすいです)。これらを踏まえて、
ex1.傾きaの直線Lに垂直な直線Mの傾きはわかりますか?
ex2.点と点の距離を求めることができますか?
ex3.2点を通る直線、傾きと通る1点が与えられている直線、これら両方を求めることができますか?
上記のex123に答えられるのなら、自分の力で公式を導くことができます。
もしわからないものがあれば、数学の専門家では無いScotty_99さんにテキスト形式だけでわかるように説明できる人はいないと思います。
Scotty_99さんが使っている参考書(らしきモノ)は、参考書じゃないですね。受験テクニックだけを載せているだけのものです。本当の参考書は、ちゃんと導き方が書いてあるはずです。なので、チャートでも何でもいいですよ。数学(2)の参考書にはちゃんと書いてあります。
2)です。
「定点」の定義は、まさしく読んで字のごとく、「動かない点」のことです。なので、Scotty_99さんは
>解説)直線2x+ky+1=0という式があったとします。kにいろんな値を代入することでさまざまな直線になりますよね。
>さまざまな直線になりますけど、この直線はどれもあるひとつの点をとおります。この点を定点という。
が定点の定義だと思われているのでは?
確かにこの直線は定点(-1/2,0)を通りますが、定点というのは、任意のkに対して直線が通る点だけではないのです。
だから、kを含んでいる直線はさまざまな直線になるハズなのに、2点を通る直線は一つなのでは???って感じていらっしゃるのでは?
「3定点(0,0),(0,1),(-1,0)を頂点とする三角形」って言われて、イメージ沸きません?沸きますよね。
ありがとうございます。
まさしく受験参考書です。やっぱりチャートはとおらないといけない道なんですね。あれをやらないといけないなんてがっくし。
>が定点の定義だと思われているのでは?
はい。そう書いてありますよ。
>「3定点(0,0),(0,1),(-1,0)を頂点とする三角形」って言われて、イメージ沸きません?沸きますよね。
正直、沸きません。でも考えてみます。回答ありがとうございました。
No.2
- 回答日時:
2)について
それは、(1)の問題が定点aとは無関係だからです。おそらく、(2)以降の問題と関係してくる事柄でしょう。
事実、直線lの通る定点bは、直線の式だけで求まります。
No.1
- 回答日時:
1)について
まずax+by+c=0の式を、y=~の形に直しましょう。
そして、その直線の図を描きます。適当で構いません。
次に点P(p,q)となる点を適当に取ります。で、その距離を求めれば
(距離)=(p,qの式)
が出てくるはずです。
最後にp=x、q=yと読み替えれば、求める式が出ます。
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