10ケタの電話番号に使われる数字の種類の期待値は?

たとえば、電話番号が0334666678だったとします。
使われる数字の種類は、６種類です。

電話番号というのは分かりやすく言ったためで、数学的には、１０種類の数字から重複を許して１０個をとったときの、その種類の期待値はいくらでしょうか？

もっと、拡張して、
写像f:{1,2,…,n}→{1,2,…,m}
を考えたとき、その値域の個数の期待値はいくらでしょうか？

さらに別のバージョンですが、サイコロの目をイメージして、
写像f:{1,2,…,n}→{1辺の長さ１の正方形}
を考えたとき、任意の２点をとったときの距離の期待値はいくらでしょうか?

それらに関する参考サイトなどをご教授いただけないでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： thetas 回答日時： 2006/12/03 04:13

＞写像f:{1,2,…,n}→{1,2,…,m}

＞を考えたとき、その値域の個数の期待値はいくらでしょうか？
について、
１０個の数の例の拡張ということですから、
写像ｆには、
「1≦k≦n-1となる任意のｋに対し、f(k)≦f(k+1)が成り立つ」
という条件がついているものと考え、この回答をします。

なお、この回答ではnＣkをＣ (n,k)と表します。

まず、全体の写像の総数は、
ｍ種類からｎ個の数字を選ぶ重複組合せ(選ばない数があってもよい)
なので、Ｃ (m+n-1,n)通り。
１）n≦mのとき、
組合せで出てくる数がｋ種類となる場合の数を考えます。（1≦k≦n）
１～ｍの数から値域として選ばれるｋ種類の数を決めるのに、Ｃ (m,k)通り
そのｋ種類の数をｎ個選ぶ重複組合せ（少なくとも１個は選ぶ）
なので、Ｃ (n-1,k-1)通り。
よって、Ｃ (m,k)・Ｃ (n-1,k-1)通り。
ゆえに、期待値は
{1/ Ｃ(m+n-1,n)}・Σ k・Ｃ (m,k)・Ｃ (n-1,k-1)　（１≦ｋ≦ｎの和）
＝{1/ Ｃ(m+n-1,n)}・Σ m・Ｃ (m-1,k-1)・Ｃ (n-1,k-1)（１≦ｋ≦ｎの和）
＝{1/Ｃ (m+n-1,n)}・Σ m・Ｃ (m-1,k)・Ｃ (n-1,k)（０≦ｋ≦n-1の和）
＝{1/Ｃ (m+n-1,n)}・Σ m・Ｃ (m-1,k)・Ｃ (n-1,n-k-1)（０≦ｋ≦n-1の和）

ここで、Σ Ｃ (m-1,k)・Ｃ (n-1,n-k-1)（０≦ｋ≦n-1の和）
は、Ｃ (m+n-2,n-1)なので、
期待値は、m・Ｃ (m+n-2,n-1)/Ｃ (m+n-1,n)

２）n＞mのとき、
組合せで出てくる数がｋ種類となる場合の数を考えます。（1≦k≦m）
＜として、１と同様に解けそうな気がしています＞

最後に、
計算がちょっと自信がありません。もうしわけありません。
これらの問題を扱っているサイトは残念ながら私はしりません。
ただ、テーマとして、興味深いと思いました。

No.2 回答者： kumoringo 回答日時： 2006/12/02 17:34

質問の意図は非常に分かりやすいと思いますが、それはさておき。

電話番号の問題だけですが、動的計画法で解いてみました。
答え (約 6.51) は出ましたが、半分力ずくなので拡張した問題に
つながる知見はありません。

解き方の概略です。
p 桁の数が q 種類の数字から成っている場合の数を a(p, q) とおくと、

a(p, q) = a(p-1, q) * q + a(p-1, q-1) * (11 - q)

と表せます。任意の p に対して a(p, 1) = 10 なので、
後は小さい p, q から順に a を計算し、
問題の期待値 Σ q * a(10, q) を求めると、約 6.51 となりました。

最後に。単なる例とはいえ、実際にありそうな電話番号を書くのは
良くないかもしれません。

No.1 回答者： varakia 回答日時： 2006/12/02 16:09

10種類の数字から重複を許して10個をとったとき、その種類は全部で10の10乗（100億）通りになります。

すべての種類の数字は100億分の1の確率で発生しているのだから、数字を1種類出すだけなら期待値は100億だし、10種類出すなら10臆になるので、この場合の期待値は[10の10乗／ｎ]となります。


ちなみに、この回答は質問が問題として成立していないと思いながら無理やり回答を作ったものなので、あくまで参考までにしてください。

参考URL：http://www.crossroad.jp/mathnavi/math-i/kakuritu …