10進法から2進法へ。

こんにちは＾＾）今レポートをやっています。
２進法を１０進法に直すやり方は、自分なりに理解できました。
ですが、１０進法を２進法に直すとき、なぜ２で割り余りを明記していくのか、その理由がわかりません。しかも以下問題文の答えは、（101100)だと思うのですが、他の位は全て余りを明記してるのに、この数の一番大きい位の１だけは、３÷２＝１あまり１の商を明記してるんですよね？なぜでしょうか？

（問題）
（１０８）10を２進法になおせ。

この問題で、わかりやすく説明していただけないでしょうか？
よろしくお願いします。質問は、以下の２点です。
(1)１０進法から２進法になおすとき、なぜ２で割りあまりを明記するのか？
(2)なぜ、あまりだけを明記するのではなく商も明記するの？？

No.6 ベストアンサー 回答者： yanasawa 回答日時： 2007/01/22 19:29

２進数はなぜ２で割って余りを求めるのか、だけ説明します。

簡単のため、私の思った１０進数を、あなたが１０進数で表すことにします。（変ですが、理由はあとで分かります）
直接聞かないでください。例えばこう聞いてください。
「その数を１０で割ったら、余りはいくつですか？」
私が「６」と答えたら、これは１の位の数だと分かりますね。
そうしたらまた聞いてください。
「さっきの答を１０で割ったら、余りはいくつですか？」
さっきの答は、最初の数に比べて、桁が１つ落ちていることに着目してください。私が「４」と答えたら、これは１０の位です。
これを続けていきます。そうすると、正体が１の位からバレてきますね。
これは２進数でも同じです。２で割って余りを求め、答は１桁落ちていく。この繰り返しです。

この回答へのお礼

お～～！なるほどっ！！
クイズみたいなのに、とてもわかりやすかったです☆
ありがとうございました☆

お礼日時：2007/01/23 14:31

No.7 回答者： y_akkie 回答日時： 2007/01/22 20:40

(1)１０進法から２進法になおすとき、なぜ２で割りあまりを明記するのか？

まず、10を基数とする数字を10進数と言いますよね。
例えば、(123)10であれば、10^2 + 2×10 + 3 といった形で表されます。
このように、n桁の１０進数の整数Nについては、各桁の数字を
上位からan,an-1,....,a1とおくと、以下のような形式で表される
事になります。

10^n-1×an + 10^n-2 ×an-1 + ......... + 10×a2 + a1

ここで、まず最下位の桁の数字を求めるためには、
以上の式については10(10^n-2×an + .................+a2) + a1
と見なす事ができ10で割った余りがa1に当たるので、10で
割った余りを求めればよい事が分かります。
また、この時の商は(10^n-2×an + .........+ a2)である事が分かる。

次に、この商を利用して右から２番目の桁の数字であるa2を求めると、
今度は10(10^n-3×an +....+a3) + a2と見なせるので、10で割った余り
がa2になることを利用して求めれば良いことになります。
従って、以上のような手順を最上位の桁が求まるまで繰り返して
行けば良い事が分かります。

これを踏まえ、２進数に変換する場合も、今度は１０進数Nは
2^m-1×am + 2^m-2×am-1+..............2×a2 + a1の形式で表され
ると考えればよいわけです。

ただし、a1～amはそれぞれ0か1の数字であり、これらは２進法で表した
場合の各桁の数に相当するわけです。
という事は先ほどと同じような要領で今度は2で割って、その余りを求め
ていくと、２進数の各桁の数字が求められるわけです。

(2)なぜ、あまりだけを明記するのではなく商も明記するの？？

それは、たまたま商と余りが一致した事が原因で混同してしまった
だけではないかと思われます。

例えば、１０進数の3を二進数に変換するとき、3を2で割った商が
1で、余りも1になるので、本来であれば余りの1を取るべきところを
商の1をその桁の数字としてしまったのではないでしょうか。
ちなみに、１０進数の3を二進数で表記にするときは、

3 ÷ 2 = 商1　余り1<-これは、2進数の最下位の桁の数になります。
1 ÷ 2 = 商0 余り1<-これは、2進数の最上位の桁の数になります。

よって、(3)10=(11)2になる事が分かります。

この回答へのお礼

（２）の質問は、私の勘違いでした。すいません。ちゃんと最後の１÷２まですればよかったのですね。上の方の回答は、ちょっとついていけなかったです...;;)でもご回答ありがとうございました☆

お礼日時：2007/01/23 14:47

No.5 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2007/01/22 16:48

　例題で変換の仕方を整理してみましょう。

変換していくときは余りを求めて下の桁から埋めていきます。

108÷2＝54・・・0　⇒　下1桁目＝0
　54÷2＝27・・・0　⇒　下2桁目＝0
　27÷2＝13・・・1　⇒　下3桁目＝1
　13÷2＝6 ・・・1　⇒　下4桁目＝1
　 6÷2＝3 ・・・0　⇒　下5桁目＝0
　 3÷2＝1 ・・・1　⇒　下6桁目＝1
　 1÷2＝0 ・・・1　⇒　下7桁目＝1

　(108)10＝(1101100)2

＞(1)１０進法から２進法になおすとき、なぜ２で割りあまりを明記するのか？

　下1桁目について考えて見ましょう。
　2進数の場合、下2桁目から上は必ず２の倍数になっています。これは10進数で考えたとき、下一桁を除いた数が必ず10の倍数になっていることから分かると思います。（例：1234で1230は10の倍数。)
　したがって、下1桁目は2で割った余りになっていることが分かります。（例：1234の下一桁目の4は1234を10で割った余り。）
　今度は、数字の桁を全体的に右側へシフトします。これは下一桁目で余りを求めた際に出た商と一致します。（例：1234⇒123。）
　これを同様に2で割り余りを桁に埋めていきます。(例：123⇒3。）
　以下同様に行うことで、余りだけを桁に埋めていくことが分かると思います。

＞(2)なぜ、あまりだけを明記するのではなく商も明記するの？？

　上記のように、商は計算途中で使用するだけで桁を生めるときには使わないことが判ると思います。

この回答へのお礼

わかりました、ありがとうございます＾＾
私は３÷２＝１あまり１のとこで辞めてしまったので、商が混じってると混同してしまったみたいです。ちゃんと１÷２までやればよかったのですね！

お礼日時：2007/01/23 14:49

No.4 回答者： cafe_au_lait 回答日時： 2007/01/22 16:31

No.2です。

すみません、下の回答は無視してください。

言わんとしていたことはNo.3さんのとおりです。

No.3 回答者： asuca 回答日時： 2007/01/22 16:27

＞１０進法から２進法になおすとき、なぜ２で割りあまりを明記するのか？

10進の場合例えば１４だったら
10で割ると1余り4でそれを１４と書くわけです。
8進だったら8で割った結果だしそう考えれば自ずと2進だったら2で割ったあまりを表記すると分かると思うんですが。

2進は０＝０，1＝１，２＝１０増えていきます。

＞なぜ、あまりだけを明記するのではなく商も明記するの？？

商を書かなかったら繰り上がった桁がないことになりますので。
先の14の例でいったら商を書かなかったらただの４になってしまいます。

参考URL：http://www.asahi-net.or.jp/~AX2S-KMTN/ref/bdh.html

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
ちょっと混同していましたが、解決しました＾＾

お礼日時：2007/01/23 14:50

No.2 回答者： cafe_au_lait 回答日時： 2007/01/22 16:26

(1)１０進法から２進法になおすとき、なぜ２で割りあまりを明記するのか？

2進法から10進法になおすとき、10で割りあまりを明記するのは感覚的に理解できますか？それと同じです。

(2)なぜ、あまりだけを明記するのではなく商も明記するの？？

商は明記していませんが・・・。

この回答へのお礼

私は１０８を２で割って行くとき、３÷２＝１あまり１という時点でやめてしまっていたので、商が答えに混じっていると思ってしまったようです。ですが、１÷２と続ければ全てあまりで、表記されるんですね。
ご回答ありがとうございました。

お礼日時：2007/01/23 14:54

No.1 回答者： T0MT0M 回答日時： 2007/01/22 16:23

10進法の108は2進法では、1101100ですよ。

でもって、商なんか引いてきてません。全部余りです。

この回答へのお礼

すいません、答えは1101100でした><)私は１０８を割るとき、３÷２＝１あまり１で辞めてしまったので、答えに商が混ざっていると勘違いしたようです。ご回答ありがとうございました！

お礼日時：2007/01/23 14:55