物体の加速度

直径20mmで0.05ｇの発泡スチロールを落下運動させたとき、空気抵抗を考慮し、この物体の加速度って求めることができるのでしょうか？

No.3 回答者： proto 回答日時： 2007/02/02 16:12

他の方が同じような解説をなさっているかも知れませんが。

運動方程式をご存知ですか？
　　ma = F
ですね。
aが加速度なので
　　a = F/m
とすれば加速度が求まります。

発泡スチロールの質量は与えられているのでmの値はわかりますね。
問題は発泡スチロールにかかる力Fです。
この場合、かかる力は二つです。

ひとつは地球からの重力で真下に引かれる力です。
これは
　　mg
になります。方向は下向きです。

もうひとつは、運動を邪魔する方向に働く力、空気抵抗です。
これは発泡スチロールの速度に比例するので
　　kv
になります。
常識で考えて、発泡スチロールは下向きに進むので、空気抵抗はその逆向きで上向きに働きます。

この二つを足したものが発泡スチロールにかかる力になります。
いま下向きを正とすると、重力はmg、空気抵抗は上向きなので-kv
になります。
よってかかる力
　　F = mg-kv
です。
m,g,k,vがすべてわかれば、発泡スチロールの加速度は求められることになります。

先ほど言ったようにmは与えられてます。
gは定数なので、教科書を見れば値が乗ってます。
vは速度ですが、運動方程式を解けば、加速度aと一緒に求めることが出来ます。

残る問題はkの値です。
kは速度と空気抵抗の関係における比例定数なのですが、これを発泡スチロールの大きさと質量から簡単に導くことは出来ません。
発泡スチロールの形や空気の粘りなどもっとたくさんのデータがあって、流体の運動方程式という難しい方程式を解けばわかるかもしれないのですが。
はっきり言って、こんな難しいことをするよりも、実際に発泡スチロールを落としてみてkの値を求めたほうが早いといったレベルです。
それほど計算で導くのは難しいのです。

実際に落として導くといいましたが、もちろんそのときにはデータとして発泡スチロールの速度や加速度も測定します。

加速度を求めるためにkの値を知ろうと思ったら、実際に加速度を測定してからkを求めないといけないということです。
このことがあるので、発泡スチロールの加速度を運動方程式から求めようとするのはナンセンスになるのです。

ちなみに、発泡スチロールがひらひら落ちるのではなく、ある程度真っ直ぐ地面まで落ちるのであれば、
最初の高さと落ちるのにかかった時間から加速度を求めることが出来ます。
加速度が求まれば、それからkの値を求めることも出来ます。

しかし、発泡スチロールがひらひらと風に舞いながら落ちるのであれば、これまた難しい方程式を立派なコンピューターで解かなければ無理という状況になるでしょうね。

No.2 回答者： N64 回答日時： 2007/02/02 13:16

質問とは直接関係ないかもしれませんが。

若い頃、中谷宇吉郎の科学の方法という本を読みました。
その中に、科学がなんでも解決できるわけではない、
という個所があり、大きなショックを受けた記憶が
あります。
たとえば、一枚のはがきを東京タワーのてっぺんから
落としたとき、どこに落ちるかは、科学では、予測
できないというものでした。発泡スチロールもあまり
小さいと、ひらひら舞って、上に行ったりして、速度
の計算どころではない、ということもあるかも知れま
せんよ。

No.1 回答者： cmc32000 回答日時： 2007/02/02 11:17

一般的には、空気抵抗は速度が大きくなると大きくなるので、この場合だと重力と等しい大きさになるまで加速し、その後はつりあって加速度0（等速運動）で落下すると思います。

（雨粒が等速で落下するのと同じ）
その途中の加速度の変化の様子は、運動方程式を解くことになると思います。