コインの出目が偏る確率の算式は？

コインを投げて表・裏に「偏って出る」ブレの可能性確率を求めたいのですが、どういう算式で出せますか？

コイン確率の質問はOKWEBに多くありましたが、連続または一定の順序で出現する質問ばかりでした。
そうではなく、ここではコイン投げを回数多くやれば究極はどちらも必ず50％の平均出現率に収束する事は判るのですが、ここでは試行途中において表・裏のどちらかに偏ってブレて出現する現象がどのくらいの確率で発生するかという可能性です。

判りやすく言えば、最初にまず100点を持っていたとします。
そして、表が出ればプラス1点、裏が出ればマイナス1点と数えます。
何度も試行をしプラス・マイナスを繰り返しながらプラス10点に、又はマイナス10点に達する確率はどのくらいあるかという質問です。

同様にプラス20点に達する可能性は？・・・このようにプラス50点に達する可能性の確率はどうなりますか？
前提が抜け落ちていましたが、『100回思考したとして』その確率は？という前提が必要だと思いますが、これを1,000回を試行した時ではどういう可能性になるか？
という具合に試行回数によって変わってくるとも思いますが、この考え方は違っていますか・・・？
きっと天文学的数字だと思いますが、100回試行中100回表が出る確率はどのくらいの可能性があるのですか？可能性ゼロではないですよねえ。試行回数を増やしこれを1,000回試行中ではどうなりますか？

これをどういう算式で求められるか、是非ともお教え下さい。
お願いします。

No.8 ベストアンサー 回答者： Ishiwara 回答日時： 2007/03/07 12:31

このモデルは、統計学における、分布・分散・標本・検定・帰無仮説・危険率・信頼区間といった、基本的な概念と手法を勉強するのに、とてもよい材料です。

二項分布について、基礎から勉強してください。そして、分散が（√試行回数）/２になることや、試行回数が多くなると正規分布に近づくことを使えば、±５０点になる確率なども、ごく簡単に求めることができます。

この回答への補足

ご回答に感謝いたします、ありがとう御座いました。

補足日時：2007/03/08 16:46

No.7 回答者： age_momo 回答日時： 2007/03/07 09:54

まず、基本的に誤解があるようですが、試行を増やしていくと

(表が出た回数)／(試行回数)

はどんどん50%に近づいていきますが、試行を増やせば中央辺りに
いる確率はどんどん減っていきます。具体的な計算は#3さんが
書いておられる式の和になります。ここで^は累乗を表し、Cは
組み合わせの記号でnCr=n!/r!(n-r)!です。
100回振って表が41回から59回までの確率は
1/2^100*Σ[k=41,59]100Ck
で計算することになります。それ以外にいる確率(質問の回答)は
この数字を1から引けば求まります。以下、ある程度数字を書いておきます。

100回で10以上離れる　5.7%
100回で20以上離れる　0.008%
1000回で10以上離れる　54.8%
10000回で10以上離れる　84.9%
100000回で10以上離れる　95.2%

なお、これぐらいの計算になると通常の計算機では対応つかないと思います。
対数とプログラムに頼ることになりますが、概算する方法としてn回試行の時、
95%の確率で中央値から±√nにいます。10000回振れば±100回にいる
(つまり4900から5100回)の確率が95％、また、99.7%は±3(√n)/2　
つまり10000回なら4850回から5150回が目安になります。

話を最初に戻すと95％の確率で出る範囲が

試行回数　　範囲　　　　　割合
100　　　　　　40-60　　　　40%-60%
10000　　　　4900-5100　49%-51%
1000000　　499000-501000　49.9%-50.1%

試行回数を増やすと割合はどんどん50%に近づきますが、出そうな範囲は
どんどん広がっていきます。

No.6 回答者： tatsumi01 回答日時： 2007/03/06 14:01

No. 4 のものですが、勘違いをしていました。

１００回試行したときに、ちょうどプラス１０（１１０点）、あるいはマイナス１０（９０点）になる確率をお尋ねだったんですね。No. 5 の方のように計算するのでしょう（No. 5 の計算を検算してはいません）。

確率過程論、あるいはランダムウォークの理論では無限回試行して、そのうちにある限界を突破する（酔っ払いが溝に落ちる）のはいつか、を計算するような理論です。もちろん、確率事象ですので、あくまで統計的にしか結果は出ません。１０歩後にいきなり落ちることもあるし、右－左－右－左を繰り返して永久に落ちないこともあり得ます。しかし、統計的にはちょうどＮ歩後（またはＮ歩後まで）に落ちる確率がどの程度かが計算できます。

この回答へのお礼

ありがとう御座いました。
今回とは異なりますが、ランダムウォークの理論は興味をそそります。

お礼日時：2007/03/08 16:33

No.5 回答者： chie65536 回答日時： 2007/03/06 13:34

＞判りやすく言えば、最初にまず100点を持っていたとします。

＞そして、表が出ればプラス1点、裏が出ればマイナス1点と数えます。
＞何度も試行をしプラス・マイナスを繰り返しながらプラス10点に、又はマイナス10点に達する確率はどのくらいあるかという質問です。

100点からプラス10点になるには、マイナス１点が９０回必要。
100点からマイナス10点になるには、マイナス１点が１１０回必要。試行回数が１００回なので、マイナス10点になる確率はゼロ。

って事ではなくて、
１００点から初めて１００回試行して１１０点で終る確率
１００点から初めて１００回試行して９０点で終る確率
って事だと思うが違うかな？

単純に考えるべし。
最終点数は「０点、２点、４点…１９６点、１９８点、２００点」である事に注意。
１１０点って事は「表５５回、裏４５回」、同様に９０点って事は「表４５回、裏５５回」である事に注意。

１００点から初めて１００回試行して０点になる確率は、１／２の１００乗。
では、１００点から初めて１００回試行して２点になるって場合は？
「１回目のみ表で、残り全部裏」
「２回目のみ表で、残り全部裏」
…
「９９回目のみ表で、残り全部裏」
「１００回目のみ表で、残り全部裏」
の１００通りあるって事。

「全部の組み合わせ」は「２の１００乗」ある。つまり「どこか１回だけ表になる組み合わせの個数／（２の１００乗）」が「２点になる確率」って事。

では４点になる確率は？

同じように
「１回目と２回目が表で、残り全部裏」
「１回目と３回目が表で、残り全部裏」
…
「１回目と９９回目が表で、残り全部裏」
「１回目と１００回目が表で、残り全部裏」
…
「２回目と３回目が表で、残り全部裏」
「２回目と４回目が表で、残り全部裏」
…
「２回目と９９回目が表で、残り全部裏」
「２回目と１００回目が表で、残り全部裏」
…
「９８回目と９９回目が表で、残り全部裏」
「９８回目と１００回目が表で、残り全部裏」
…
「９９回目と１００回目が表で、残り全部裏」
のように「１００回のうちどこか２回が表になる組み合せの個数」を求める。

つまり「１００回のうちどこか２回が表になる組み合わせの個数／（２の１００乗）」が「４点になる確率」って事。

もう判りますよね。

「９０点になる確率」は「１００回のうちどこか４５回が表になる組み合わせの個数／（２の１００乗）」って事

「１００回のうちどこか１回が表になる組み合わせの個数」
「１００回のうちどこか２回が表になる組み合わせの個数」
「１００回のうちどこか４５回が表になる組み合わせの個数」
は、順列組み合せの式で求めましょう。

なお「９０点になる確率」と「９０点以下になる確率」は違うので注意。上記のは、あくまでも「１００回投げて９０点ぴったりで終る確率」なので。

この回答へのお礼

問題の設定が間違っていたみたいです、すみません。
最初の持ち点は100点ではなくて、0点でした。
そして、＋20点側や－20点側にブレる確率はどうかというものでした。
でも、持ち点が100点から120点になる確率と考えればこれは同じですね。

お礼日時：2007/03/06 13:49

No.4 回答者： tatsumi01 回答日時： 2007/03/06 13:30

> 判りやすく言えば、最初にまず100点を持っていたとします。

> そして、表が出ればプラス1点、裏が出ればマイナス1点と数えます。
> 何度も試行をしプラス・マイナスを繰り返しながらプラス10点に、又はマイナス10点に達する確率はどのくらいあるかという質問です。

この問題は確率過程論で扱います。大昔に読んだので忘れてしまいましたが、かなり高度の数学を用います。簡単な算式はないと思います。
カジノにおける「つき」もこの理論で扱えたと思います（大勢がルーレットで賭けているとき、全体を見れば＋－均等だが、個々に見ると儲けている人も負け続けている人もいる、という問題を扱います）。
ランダムウォーク（酔歩）というキーワードで探しても見つかるかも知れません。狭い道で両側に溝があるとき、酔っ払いが歩いていて溝に落ちる確率を計算するような理論です。

この回答へのお礼

ありがとう御座います。へえぇ、面白いですねえ。
酔っ払いのランダムウォークですか！
引き込まれます。
私のような数学の素人には難しそうですね。
何とかできるだけ簡単に近似値が出そうな式はないのでしょうか？

お礼日時：2007/03/06 13:38

No.3 回答者： volveive 回答日時： 2007/03/06 13:17

コインをn回投げてのその内m回表が出る確率は次の式です。

nCm/2^n

この式で計算すると、100回中50回表が出る確率は 7.95%、40回表が出る確率は 1.08% です。
EXCEL だと =COMBIN(n,m)/2^n (n,m は実際の数値)で計算できます。

これは確率なので、m を0からnまで計算して足すと１になります。
いろいろ試してみてください。

この回答へのお礼

ありがとう御座いました。
nCm/2^n　ですか！？
このうち、「C」と「^」はなんでしょうか？
すみません素人なもので・・・

これで＋－の加減点数を付け続けたとき、どちらかに点数が片寄って＋N点に達するときの確率が出ますか？

お礼日時：2007/03/06 13:44

No.2 回答者： postro 回答日時： 2007/03/06 13:14

具体的には、コインを100回投げた時、表が60回以上出る確率は？

1000回投げた時、600回以上出る確率は？
なんてことを知りたい、ということですか？
二項分布、正規分布、という単元を学べば明確になります。

この回答への補足

いいえ違います。
質問の要領が悪かったかもしれません、すみません。
表・裏は平等に平均の出目確率は50％ですね。
しかし、実際にはこんなにうまく平均して出ませんね。
現実は相互にどちらかに片寄って出ながら長～くやれば結局は平均は半々になります。
ここでは、試行中に一時的にどちらかに片寄って出る可能性の確率を求めています。
試行を繰り返えしていると「表・裏」がどちらも出ます。
このとき、表を＋1点、裏を－1点とカウントしたとき、この加減を繰り返しながら瞬間的に、＋側か－側に片寄る可能性を知りたいのです。
例えば、＋20点に到達する、又は－20点に到達する可能性の％です。
よろしくお願いします。

補足日時：2007/03/06 13:33

No.1 回答者： sapporo30 回答日時： 2007/03/06 12:55

100回試行中100回表が出る確率は、

(1/2)の100乗です。
1000回試行中1000回表が出る確率は、
(1/2)の1000乗です。

この回答へのお礼

ありがとう御座います。
そうすると、100回試行中100回表が出る確率は、何％なのでしょう？
1,000回の試行中でプラス100点に達することがある確率は、何％でしょうか？
そして、1,000回の試行中でプラス20点に達することがある確率は、何％でしょうか？
どういう算式ですか？

お礼日時：2007/03/06 13:14