相加相乗平均の拡張、条件をゆるめる

X>0,Y>0,Z>0のとき、

(X+Y+Z)/3≧(XYZ)^(1/3)

です。この証明を考えるために、X=x^3 , Y=y^3 , Z=z^3 とおくと、

x^3+y^3+z^3-3xyz≧0

となります。

左辺＝(x+y+z) (x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)

＝(1/2) (x+y+z) {(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}

となりますが、x+y+z＞0であれば、

左辺≧0　つまり　x^3+y^3+z^3-3xyz≧0

となります。今は３変数の場合でしたが、一般の場合にもそういったように条件を緩めることはできますでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/05/05 14:53

qqqqqhf さんの質問の意図は

相加相乗平均の前提条件が x > 0, y > 0, z > 0 でなくても、x + y + z > 0 を満足すれば (x^3 + y^3 + z^3)/3 ≧ xyz が成立する。(3乗根は正数でないと意味が曖昧になるのでパス)

では 3変数ではなくて、一般の n 変数についても
x_1 + x_2 + … + x_n > 0 であれば、(x_1^n + x_1^n + … + x_n^n)/n ≧ x_1x_2…x_n が成立するのではないか？

あるいは類似のもっと緩い条件が得られないか？

ということなのでしょう。

komimasaH さんの挙げられた サイトで Polya の方法が参考になるのではないでしょうか。

この証明で実質 G_n = n√(a_1…a_n)は出てこないし、
exp(a_i/A_n - 1) ≧ a_i/An を i にわたってかけ算する時に a_i > 0 を利用しているので、a_i < 0 の場合の不等式をもう一つ用意すれば
A_n = (a_1 + … a_n)/n > 0 の条件の下で結論を得られそう(最後までやってないけど)

No.2 回答者： komimasaH 回答日時： 2007/05/04 13:05

一般的な照明方法はここに載っています。

書き間違いもあるみたいですが。大筋は分かります。
http://phaos.hp.infoseek.co.jp/diff2/appendices/ …

No.1 回答者： Kules 回答日時： 2007/05/03 23:58

あやふやな回答でごめんなさい

相加平均≧相乗平均は変数が何個でも成り立ったはずです。
すなわち
ai>0 (i=1,2,3,…n)
の時
1/n{Σai}≧(a1a2a3…an)^(1/n)
等号成立は
a1=a2=a3=…=an
が成り立つはずで、そういう大学入試問題もあったように記憶しています。