負の数の平方根

Question

√(-2)×√(-3)

は通常

√(2)i×√(3)i = √(6)i^2 = -√(6)

と解きますが、

なぜ
√(-2×-3) = √(6)

としてはいけないのでしょうか。よろしくお願いいたします。

ninigi · Accepted Answer

まず数学的に回答します。
　
厳密にいうと、そもそも
　
　√(-3)
　
のような書き方をしてはいけません。
√aの定義は「2乗してaになる数のうちの正の値の方」なので、aが負や複素数では『正の値』の解が存在しないためです。
よく
　
　i＝√(-1)
　
という表記を見ますが、これはiを直感的に理解するための方便であって実際に使ってはいけません。
数学の専門書ではこのような表記はされないか、あっても例外的な表記である旨のただし書きがあるのが普通です。
　
複素数には正負も大小関係もないので、2つある「2乗して-3になる数」の一方を√(-3)、他方を-√(-3)などと選別することは不可能なのです。
　
もっというと実は、iと-iも区別できません。この二つは代数的に完全に平等です。
2乗して-1になる2つの数のうち、どちらをiと決めたのかを説明した本を見たことは無いでしょう？
　
　
　
次に算数的に回答します。
　
i = √(-1)のような書き方を認めて√a×√bと√abを比べてみましょう。
　
まず、　i × i = -1　なので√(-1)×√(-1) = -1 です。
　
一方、√(-1×-1) = √1 = 1 です。
　
従って、√(-1)×√(-1)≠√(-1×-1)である事がわかります。
なので、√(-2)×√(-3)≠√(-2×-3)なのです。

rabbit_cat · Answer

大学になって、多価関数てのを習うと、
任意の複素数z,wについて
√z * √w = √(zw)
てのが、（多価関数の意味で）成立することがわかります。

あるいは、リーマン面ていうのを考えて√を１価関数にしても、その上で
√z * √w = √(zw)
が成立します。

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa1093455.html

kts2371148 · Answer

まず、ルートの定義をはっきりさせましょう。
実は、√x は次のように定義されています。

x が実数で x > 0 のとき → ２乗して x になる数のうち、正のもの
x が実数で x = 0 のとき → 0 （これは当たり前ですね）
x が実数で x < 0 のとき → √(|x|) i

例を挙げれば、

√4 = 2
√(-4) = √(|-4|) i = √(4) i = 2i

となります。ですから、

√(-2) × √(-3)
= √(|-2|) i × √(|-3|) i
= √(2) i × √(3) i
= √2 × √3 × i^2
= √6 × (-1)
= -√6

となり、a<0 , b<0 であれば、√a×√b = √ab は成り立たなくなってしまいます。

不可解に思えるかもしれませんが、それには理由があります。
√x の定義を x ≧ 0 の場合から拡張するときに、
どうしても無理が生じてしまうのです。
ルートの中身を複素数まで広げて考えると、そのことがよくわかります。
x が複素数のとき、√x は次のように定義されています。

x が下記の例外に当てはまらない場合
　→ ２乗して x になる数のうち、実数部が正のもの
例外として、x が実数で x < 0 の場合
　→ ２乗して x になる数は √(|x|) i と - √(|x|) i だが、
　　　どちらか一方に定義しなければならないため、
　　　√x = √(|x|) i と定義する

この定義によると、

i^2 = (-i)^2 = -1 なので、２乗して -1 になる数は i と -i だが、
　定義により、√(-1) = i である
(0.00001 - i)^2 = (-0.00001 + i)^2 = -0.9999999999 - 0.00002i なので、
　２乗して -0.9999999999 - 0.00002i になる数は
　0.00001 - i と -0.00001 + i だが、定義により√は実数部が正のものなので
  √(-0.9999999999 - 0.00002i) = 0.00001 - i

となります。
-1 のルートをとると i ですが、
-1 に非常に近い数である -0.9999999999 - 0.00002i のルートをとると、
i とは反対側の、-i に近い数になってしまいます。
これは不可解に思えるかもしれませんが、こう定義するより他にないのです。
そんなわけで、ルートの定義を拡張すると、例えば √a×√b = √ab のような、
当たり前と思える公式も成り立たなくなってしまうのもやむを得ないといえます。

mamamamago · Answer

単純に、√の計算は「根号の中身が正」のものに限って成立する計算であり、「根号の中身が負」のものに対しては成立しません。

これは中学の教科書に立ち戻ってよく確認していただければ、わかると思います。

ですので、「根号の中身が負」のまま√の計算 √(-2×-3) = √(6) をしてしまったので失敗してしまったのです。

√(-2)×√(-3)
= √(2)i×√(3)i  ← i の定義より
= √(6)i^2  ← √の計算を使用

phoenix343 · Answer

２乗して負数になる数は実際には存在しません。それを虚数iに置き換えているだけです。

√(-1×2)×√(-1×3)＝√(-1)×√(2)×√(-1)×√(3)
＝-1×√(2)×√(3)＝-√(6)

となり√(-2×-3)＝√(6)とはなりません。
√(-1)×√(-1)＝1とはならないのは分かるでしょ？

kabaokaba · Answer

端的にいってしまえば
\sqrt{-1}\sqrt{-1} = -1
\sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt{1}=1
よって，
\sqrt{-1}\sqrt{-1}と\sqrt{(-1)(-1)}は異なる．

よーく根号の計算の規則をみましょう
中学校三年生の教科書なんかにはかならず
a>=0，b>=0のとき
\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}
とあります．

もうちょっというと，そもそもは
\sqrt{-3}
というのは「二乗して -3 になる数」の一つ表す記号にすぎません
ところが，i を使うことで「二乗して -3 になる数」の
一つを \sqrt{3}i と表記できることになります
そこでこの \sqrt{3}i を \sqrt{-3} のこと約束すると
もうひとつの方は　-\sqrt{3}i であって -\sqrt{-3} と
表記すると丸く収まるというわけです．
更に根号の中を正にしておくことで，
今までの根号の計算規則がそのまま運用できることになります． 
＃上の記述，厳密ではないですが，
＃まあ，大筋ってことで．

負の数の平方根

まず数学的に回答します。

大学になって、多価関数てのを習うと、

まず、ルートの定義をはっきりさせましょう。

単純に、√の計算は「根号の中身が正」のものに限って成立する計算であり、「根号の中身が負」のものに対しては成立しません。

２乗して負数になる数は実際には存在しません。

端的にいってしまえば

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