No.1
- 回答日時:
>(2+x)^10の展開式における最大の係数を求めよ。
>... 10Cr2^10-r ここで止まってしまいました。
x^k の係数 Ak を書きます。
Ak = n!*2^k/{(n-k)!/k!}
k についての Ak の増分(A_k+1 - A_k)を書きます。(やってみてください)
(n-2-3k) に比例することがわかります。
つまり、k=2 なら正、それ以上なら負。
と、ここまでがヒント。
No.2
- 回答日時:
10乗ならば計算したほうが速いのですが、逐次係数を計算せずに出すとすると次の方法はいかがでしょうか。
とりあえず、問題を一般化して、(2+x)^n について考えます。
このときの x^r の係数は、二項定理から、nCr*2^(n-r) です。
ところで、この係数は、rが1大きくなると、
nC(r+1)/nCr * (1/2) 倍
されますので、これが1より小さくなる最初のrのときが、最大の係数になります。
nC(r+1)/nCr * (1/2) <1
⇔n!/{(r+1)!(n-r-1)!} / [n!/{r!(n-r)!}] <2
⇔(n-r)/(r+1)<2
∴r>(n-2)/3
いま、n=10なので、
r>8/3
となるので、この条件を満たす最も小さいrは
∴r=3
となります。
したがって、最大の係数は x^3 でその係数は、
10C3*2^(10-3) = 15360
になります。
この回答への補足
お早うございます。
朝のバタバタしている時間に質問するのはいけませんね。
お願いする立場なのに挨拶も碌に出来ない子になってしまいました。
返事が遅くなって御免なさい。
さて、お答えの中で、理解できているか不安な部分があるので教えて下さい。
Mr Hollandさんの考え方は、係数そのものではなく、係数が増加する、その倍
率でグラフを書くという方法で係数の最大値を求めると言うことなのでしょうか。
-----
ところで、この係数は、rが1大きくなると、
nC(r+1)/nCr * (1/2) 倍
されますので、これが1より小さくなる最初のrのときが、最大の係数になります。
-----
この部分は、nCrからnC(r+1)になるとき、係数の増加する倍率が等倍を割り込
む(倍率の放物線の頂点=1(倍)であるから)という意味での「1より小さくなる」
という意味ですよね。
宜敷御願い致します。
No.3
- 回答日時:
単純に展開して、各項の係数を左から順に見ていくと・・・
2の冪に関わる部分
2^10から公比1/2で減っていく。
「二項展開の係数」に関わる部分
第n+1項は、10C n=(10・9・8・・・・(10-n+1))/(n(n-1)・・・2・1)
第n項は、10C (n-1)=(10・9・8・・・・(10-n))/((n-1)(n-2)・・・2・1)
以上から 10C n=10C (n-1)・(11-n)/n
(11-n)/nは単調減少だから、係数の並びは(11-n)/nが2よりも大きい箇所では増えていき、2よりも小さい箇所では減っていく。
(11-n)/n≧2 これを解いてn≦11/3
nは整数だからnの最大値は3。よって係数は、第3+1項=第4項で最大になる。
10 C(4-1)・2^(10-4+1)=・・・
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
>10Cr2^10-r
(10Cr)2^(10-r)ですね。
項数が少ないですから#2さんが言われるようにrを0から10まで変えて計算する方が早いかも知れませんね。
1024,5120,11520,15360,13440,8064,3360,960,180,20,1
r=3で最大値=15360であることが分かります。
ただ全部計算する必要は無いかと思います。
2項係数(10Cr)はr=10/2で最大値252をとるrの単調増加、単調減少の関数であり、
2^(10-r)はr=0で最大値1024であるrの減少関数ですから
その積
f(r)=(10Cr)2^(10-r) (r≧0)
は0<r≦5の範囲に最大値を持ちますからr=1から5まで計算して最大を見つければいいですね。可能性の高い真ん中あたりr=3とその前後のr=2,4を計算して大小を比較して見ればいいですね。前後が間のf(r)より小さくなっていれば最大値が見つけられたことになります。今の場合はr=3で最大となることが計算で分かり3項計算するだけで済みます。f(2)<f(3)>f(4)
万が一、f(2)<f(3)<f(4)となった場合はf(5)も計算すれば良いだけです。
一度は
f(r)=(10Cr)2^(10-r) (r≧0)
の計算をやってみる経験が必要ですね。
そしてrを変数にグラフをプロットしてみるといいですね。
後日きっと役に立つでしょう。
(2+x)^n
と言った指数部がn=1000のように非常に大きい場合はさておき
2項係数もn=10位は計算して見るといいですよ。10Crはr=5で対称ですから
実際は半分計算すればいいです。
返事が大変遅くなってしまいました。
info22さんのお答えは、実際に自分で紙に書いて、自分でそこに表れた数字な
り文字なり式なりの結果を見ようと思わせてくれました。そしてこの問題の答
えに関してはほぼ完全に理解したと思います。
その証拠に、ここ数日のMr Hollandさんとの遣り取りを御覧下さい。何が分か
らないかすら分からない状態から、こんな質問が出来るまでになりました。
info22さんのお答えは、確かに理解する切っ掛けになりました。
丁寧にお答えいただき、有難う御座いました。
No.5
- 回答日時:
#2です。
補足を拝見しました。
>この部分は、nCrからnC(r+1)になるとき、係数の増加する倍率が等倍を割り込む(倍率の放物線の頂点=1(倍)であるから)という意味での「1より小さくなる」
>という意味ですよね。
イメージとしては、理解されたとおりでよいと思います。
表現上、若干気になるところ(※1、※2)がありますが、きっと分かっておられることでしょう。
※1)
1より小さくなる対象として考える比は、二項係数の比( nCr と nC(r+1) )ではなく、展開式の係数の比( nCr*2^(n-r) と nC(r+1)*2^(n-r-1) )、つまり、nC(r+1)/nCr * (1/2) だが、便宜上、x^rとx^(r+1)の係数の比であることをいうために、「nCrからnC(r+1)になるとき」と表現した。
※2)
「係数の増加する倍率が等倍を割り込む(倍率の放物線の頂点=1(倍)であるから)」の( )の外側は係数の比についての表現で、( )の内側は係数そのものについての表現。
「放物線」と表現をしたのは、連続的に点を繋げて描くと、上向きに凸の放物線に似た形になることを言っている。
ちなみに、「倍率」(係数の比)についても、連続的に考えてグラフのイメージをして見ますと、y=(1/2)(n+1)/(r+1)-1/2 (0≦r≦n) という双曲線のグラフの一部(y切片がn/2、r切片はn。)になっていて、0≦r≦n の範囲で単調に減少しています。そのため、yは一旦1を割り込めば、それを回復させることができないことが読み取れます。
自分の理解を確認するついでに、来るべき本格的な証明問題で困らないように
と、自分の言葉で説明する癖を付ける為、こうして補足を付けたのですが、理
解は出来ているが、言葉で説明するのがまだ覚束無いようです・・・。
info22さんのお答えで得た理解を元に、その理解を深める役に立つ助言を頂い
たのはMr Hollandさんでした。どちらも大切なことで点数に表すのは大変不本
意ですが、切っ掛けがなければ深めることが出来なかったという観点から、一
番はinfo22さん、次点はMr Hollandさんということにさせていただきました。
有難う御座いました。
No.6
- 回答日時:
項の数が少ないのだから実際の値を求めればいい、という解法も一理ありますが、正攻法なら、隣り合う係数の比を微分して0と置くべきでしょう。
思いのほか簡単ですよ。答のrが整数ならメデタシ。整数+1/2だったら曲線の歪みで判定できます。お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 数2の二項定理の問題です!教えてください! Q、次の展開式における【⠀】内の項の係数を求めよ。 (X 4 2023/02/18 11:42
- 数学 二項定理について質問です。 下の画像は、大門57-(2)の問題で、(x^3 – 1/x^2)^10 5 2023/01/08 00:28
- 高校 数学II この二項定理の問題の解き方教えてください! 1 2022/11/15 00:32
- 数学 群数列の問題がわかりません。どなたか教えてください… 【問題文】 1から順に自然数を並べて, 下のよ 2 2022/03/28 18:55
- 数学 2022 11.11 09:45に投稿した質問に対する2022.11.11 18:40に頂いた解答に 1 2022/11/17 10:25
- 数学 2022 11.11 09:45に投稿した質問に対する2022.11.11 18:40に頂いた解答に 3 2022/12/23 21:28
- 統計学 統計学です 1 2023/07/26 04:36
- 数学 場合の数、確率 19 自治医大 多項定理 7 2023/06/25 04:10
- 数学 二項定理と乗法定理の問題について 2 2022/04/25 22:05
- 電気・ガス・水道業 簡易専用水道の定期清掃について 3 2023/03/26 16:36
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
eのマイナス無限大乗
-
「割る」と「割りかえす」の違い
-
二項定理の応用計算について。
-
30パーセントオフで371円だった...
-
公共工事の現場管理費率(%)...
-
普及率の計算方法について
-
因数分解の問題が解けなくて、...
-
分数の計算で分子が0になったら...
-
プール計算って何ですか?
-
一個当たり15秒の製品を1時間で...
-
2の12乗、32乗・・・とい...
-
面積から辺の長さを出す計算式
-
3点からの距離から点を求める方法
-
10進法で時間の計算で30分が0.5...
-
映画を1.3倍速で見た時の時間計...
-
積分での計算ミス直す方法。
-
シグマ計算で、Σk=0 からnのと...
-
「16」の正の約数の個数とそれ...
-
Access2010 引き算で値がおかし...
-
積分のエクセル計算式を教えて...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
30パーセントオフで371円だった...
-
公共工事の現場管理費率(%)...
-
「割る」と「割りかえす」の違い
-
eのマイナス無限大乗
-
中学生の数学を習う順番に並べ...
-
10進法で時間の計算で30分が0.5...
-
楕円の円周の長さの計算の仕方...
-
計算手順について
-
袋のサイズから容量を計算する方法
-
面積から辺の長さを出す計算式
-
2割負担の計算。
-
プール計算って何ですか?
-
一個当たり15秒の製品を1時間で...
-
金利の計算方法を教えてくださ...
-
クリストッフェル記号
-
分数の計算で分子が0になったら...
-
ラプラス変換に関して
-
半径の計算方法を教えてください。
-
映画を1.3倍速で見た時の時間計...
-
積分のエクセル計算式を教えて...
おすすめ情報