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チェビシェフの不等式の証明と同じように、a>0として、
E(|X|)=E(|X|||X|≧a)P(|X|≧a)+E(|X|||X|<a)P(|X|<a)
≧E(|X|||X|≧a)P(|X|≧a)
≧aP(|X|≧a)
より、
P(|X|≧a)≦E(|X|)/a=0
あとは、ちょっと形式的にa=1/nとでもして、
{X=0}=Ω-∪(n≧1){|X|≧1/n}
において、
P(∪(n≧1){|X|≧1/n})≦Σ(n≧1)P(|X|≧1/n)=0
より、P(∪(n≧1){|X|≧1/n})=0なので、
P(X=0)=P(Ω)-P(∪(n≧1){|X|≧1/n})=1-0=1
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