√11の連分数表示

一言です。

√11（ルート１１）を連分数表示したらどうなるのでしょうか？教えてください。

No.1 回答者： aquarius_hiro 回答日時： 2007/07/10 20:22

[3;3,6,3,6,3,...] かな…。

√11 = f_0 + 1/g_0 , g_0 = f_1 + 1/g_1 , ....
.... g_n = f_(n+1) + 1/g_(n+1) とおき、

頭のほうちょっとやってみたら循環するので、求まります。

f_0 は整数、f_1, f_2, f_3, ... は正の整数。

g_nを越えない最大の整数 f_(n+1) を求めるというふうにやります。

計算違いあったらすみません。

No.2 回答者： ojisan7 回答日時： 2007/07/10 21:08

考え方はいろいろあるんではないですか？例えば、(1+√5)/2はどのように連分数表示をしましたか？それと同様に考えればよいのです。

ただし、√11は少し工夫が必要ですよね。√11の整数部分は３ですから、小数部分を連分数に展開するようにしてみたらどうでしょう。
√11=3+1/zとしてみるのです。すると、z=3+1/2zとなりますね。
ですから、
√11=3+1/z=3+1/(3+1/2z)=・・・=3+1/3+1/6+1/z
となることが予想されます。ただし、右側の式は連分数の簡略表記を用いました。右辺のｚにz=3+1/2zを逐次代入していけばよいでしょう。この結果得られた連分数が√11ニ等しくなるかどうかは保証しません。√11に等しくなるかどうかの証明は、質問者さん自身が行ってください。数学的には、このことを証明することの方が大切です。がんばってくださいね。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2007/07/10 21:41

えっと, 3 じゃなくて 2 だと思う＞#1

2次の無理数なので連分数展開が必ず繰り返すことに気付いていれば, 地道に展開する気力も出るかも.

No.4 回答者： kts2371148 回答日時： 2007/07/10 22:57

もし連分数に興味がおありなら、

http://homepage3.nifty.com/y_sugi/cf/cfm/cfm0.htm
http://homepage3.nifty.com/y_sugi/cf/cf10.htm

などはいかがでしょうか。
いろいろな数・関数を連分数展開する、
かなりたくさんの例が出ています。

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2007/07/11 15:50

#3 です. ああ, 勘違いしてますね.

まあ, 地道にやればいいんだけど, これって分子は 1 に限定してるの? 1 でなくてもいいなら
1/(√11 - 3) = (√11 + 3) / 2 からすぐです.

No.6 ベストアンサー 回答者： aquarius_hiro 回答日時： 2007/07/12 21:49

最初の回答の者です…

もう少し具体的にご説明しますね。

√11を越えない最大の整数をf_0として、√11 = f_0 + 1/g_0 とおきます。f_0 = 3 はすぐにわかります。

すると、g_0 = 1/(√11-3) = (√11 + 3)/2 になります。

次に、g_0 を越えない最大の自然数を f_1 として、g_0 = f_1 + 1/g_1 とおきます。f_1 = 3 はすぐにわかります。

すると、g_1 = 2/(√11 - 3) = √11 + 3 になります。

次に、g_1 を越えない最大の自然数を f_2 として、g_1 = f_2 + 1/g_2 とおきます。f_2 = 6 はすぐにわかります。

すると、g_2 = 1/(√11 - 3) = (√11 + 3)/2 になります。

これは g_0 に一致していますので、この後の手続きはここまでの繰り返しになり、

3 = f_1 = f_3 = f_5 = .....
6 = f_2 = f_4 = f_6 = .....

が得られます。従って、

√11 = 3 + 1/(3 + 1/(6 + 1/(3 + 1/(6 + ...... ))))

と連分数展開できます。

というので、いかがでしょうか。。。