（１/a＾ｎ）＋（１/ｂ＾ｎ）＋（１/ｃ＾ｎ）

Question

（１/a＾ｎ）＋（１/ｂ＾ｎ）＋（１/ｃ＾ｎ）＝（１/a）＋（１/ｂ）＋（１/ｃ）なんでしょうか？

ny_bigappl · Accepted Answer

(b^k+c^k)/a+(a^k+c^k)/b+(c^k+a^k)/c
の部分について、

ｔ＝1/(a+b+c）＾ｋと便宜上おく（何回も書くのが面倒くさい）

(b^k+c^k)/a+(a^k+c^k)/b+(c^k+a^k)/c
＝a(t-a^k)+b(t-b^k)+c(t-c^k)
＝(a+b+c)t - {a^(k-1)+b^(k-1)+c^(k-1)}
＝１/（a+b+c）^(k-1)　-　{a^(k-1)+b^(k-1)+c^(k-1)}
＝０

よって
１/（a＋ｂ＋ｃ）＾（ｋ＋１）＝{１/（a+b+c）}{1/a^k+1/b^k+1/c^k}
={（１/a）＋（１/ｂ）＋（１/ｃ)}{1/a^k+1/b^k+1/c^k}
=1/a^（k＋１）+1/b^（k＋１）+1/c^（k＋１）＋(b^k+c^k)/a+(a^k+c^k)/b+(c^k+a^k)/c

１/（a＋ｂ＋ｃ）＾（ｋ＋１）＝１/a^(k+1)+１/b^(k+1)+１/c^(k+1)
が成立。

AとBより命題が成立
あとAはn=1だけじゃだめだ、

n=1とn=2のときも証明する必要ある。

じゃないの？？間違いがなければ・・・

aquarius_hiro · Answer

ANo.15です。

別の証明も考えてみました。

[証明]
a+b+c=A, -c=B とおくと、abAB≠0で、
a+b=A+B …(1) かつ 1/a ＋ 1/b = 1/A + 1/B …(2)
のとき、奇数nに対して、1/a^n ＋ 1/b^n = 1/A^n + 1/B^n …(3)
を示せばよいところまでは、ANo.15と一緒で、その後次のようにします。

(1),(2)より、ab=AB …(4) 
(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab = (A+B)^2 - 4AB = (A-B)^2 … (5) 
(4),(5)より、(1/a - 1/b)^2 = (1/A - 1/B)^2 … (6)

すべての奇数 n について (3) が成立するということは、
任意の実数 x に対して、

sin(x/a) + sin(x/b) = sin(x/A) + sin(X/B) … (7) 

が成立つことを示せばよい。

sin α + sin β = sin[(α+β)/2 + (α-β)/2]  + sin[(α+β)/2 - (α-β)/2] 
= 2 sin[(α+β)/2] cos[(α-β)/2]

より、(7)の左辺は

sin(x/a) + sin(x/b) = 2 sin[ (x/a+x/b)/2 ] cos[ (x/a-x/b)/2 ] … (8) 

ところで、(2)より、sin[(x/a+x/b)/2] = sin[(x/A+x/B)/2] …(9) 

また、cos[ (x/a-x/b)/2 ] は、(1/a-1/b)x/2 の偶数べきしかないので、(6)より

cos[ (x/a-x/b)/2 ] = cos[ (x/A-x/B)/2 ] …(10)

(9),(10)より、

((8)の右辺) = 2 sin[ (x/A+x/A)/2 ] cos[ (x/A-x/B)/2 ] = sin(x/A) + sin(x/B)

故に(7)が成立。故に、すべての奇数 n について(3)は成立。

（証明終わり）


sin, cos のかわりに、sinh, cosh を使っても良いですね。

1/(a+b+c) = 1/a + 1/b +1/c のときに、
sin[x/(a+b+c)] = sin[x/a] + sin[x/b] + sin[x/c]
が恒等的に成立するというのは、面白いですね。

ほんとかなって思いますが、ほんとなんですよね。

aquarius_hiro · Answer

こんにちは。

証明してみました。

>　a、b、cは
>　 (1/a)＋(1/b)＋(1/c)＝1/(a＋b＋c)
>　 a＋b＋c≠０，abc≠０
>　を満たす実数であるとする。
>　このとき、任意の奇数nに対して
>　 (1/a^n)＋(1/b^n)＋(1/c^n)＝１/(a＋b＋c)^n
>　が成り立つことを示せ。

a+b+c=A, -c=B とおくと、abAB≠0で、
a+b=A+B …(1)
かつ 
1/a ＋ 1/b = 1/A + 1/B …(2)
のとき、
奇数nに対して、
1/a^n ＋ 1/b^n = 1/A^n + 1/B^n …(3)
を示せばよいですね。

(1),(2)より、ab=AB …(4) 


n=1のときは(2)より(3)成立なので、
奇数 n=2m+1 （m≧1）について示します。

2項定理より、C(n,k)=n!/[k!(n-k)!] とおいて、
(a+b)^n - (a^n+b^n) = Σ_{k=1}^{2m} C(2m+1,k) a^k b^{2m+1-k} 
　=   Σ_{k=1}^{m} C(2m+1,k) a^k b^{2m+1-k} 
　　+ Σ_{k=m+1}^{2m} C(2m+1,k) a^k b^{2m+1-k} …(5)

(5)の第2項で、2m+1-k=k' とおくと、k=2m+1-k'より
C(2m+1,k)=(2m+1)!/[k!(2m+1-k)!] = (2m+1)!/[(2m+1-k')!k'!] = C(2m+1,k') 
k=m+1 で k'=m、k=2m で k'= 1
故に、((5)の第2項) = Σ_{k'=1}^{m} C(2m+1,k') a^{2m+1-k'} b^{k'} …(6)
k'をkとおいて、

(5) = Σ_{k=1}^{m} C(2m+1,k) [ a^k b^{2m+1-k} + a^{2m+1-k} b^{k}] 
　　= Σ_{k=1}^{m} C(2m+1,k) a^k b^k [ b^{2m+1-2k} + a^{2m+1-2k}] …(7)

いま、1≦n'≦n-2 を満たすすべてのn'について
1/a^{n'} + 1/b^{n'} = 1/A^{n'} + 1/B^{n'} が成立とすると、
(4)より、a^{n'} + b^{n'} = A^{n'} + B^{n'} も成立するので、
1 ≦ 2m+1-2k ≦ 2m-1 ≦ n-2 に注意し、(4)も用いて、

(7) = Σ_{k=1}^{m} C(2m+1,k) A^k B^k [ B^{2m+1-2k} + A^{2m+1-2k}] …(8)

(A+B)^n - (A^n+B^n) について、(5)～(7)と同じ計算をすると、(7)と同じ形、すなわち(8)になるので、

(a+b)^n - (a^n+b^n) = (A+B)^n - (A^n+B^n)

が得られる。ここで、(1)より (a+b)^n = (A+B)^n なので、

a^n+b^n = A^n+B^n 

(4)より、(ab)^n=(AB)^n より、両辺を割って、

1/a^n + 1/b^n = 1/A^n + 1/B^n 

を得る。

kkkk2222 · Answer

＞＞因数分解。

(1/a)+(1/b)+(1/c)=1/(a+b+c)
(bc+ca+ab)/abc=1/(a+b+c)
(a+b+c)(bc+ca+ab)=abc
{a+(b+c)}{(b+c)a+bc}-abc=0
(b+c)(a^2)+{(b+c)^2}a+bca+bc(b+c)-abc=0
(b+c)(a^2)+{(b+c)^2}a+bc(b+c)=0
(b+c){(a^2)+(b+c)a+bc}=0
(b+c)(a+b)(a+c)=0

即、(b+c)=0 または (a+b)=0 または (a+c)=0 


>>
{1/(a^n)}+{1/(b^n)}+{1/(c^n)}=1/{(a+b+c)^n}

＃　nが奇数ならば、

(b+c)=0,,,  b=-c　のとき、
左辺＝1/(a^n)＝右辺　で成立。
同様に、(a+b)=0　のとき、(a+c)=0　のときも成立します。

＃　nが偶数のときは、

たとえば、b=-c　のとき、
{1/(a^n)}+{1/(b^n)}+{1/(c^n)}=1/(a^n)　となって、
{1/(b^n)}+{1/(c^n)}＝０　とはならないので、
不成立のようです。

Quattro99 · Answer

> よろしいですが自分で解けました。
> ただやたら長くなちゃってもう少し簡潔なのをお願いしたいです。
長くてもよいのでそれを書いてみてください。どこか必要のないことをやってしまっているかも知れませんし、どうしてもそれくらいの長さが必要なのかも知れません。
かなり、長くなると思いますよ。

velvet-rope · Answer

#9の回答からケンカっぽくなってしまいましたねぇ。
質問者様もわからないなりに理解したいという思いがあるわけですから、そこはわかってあげないと・・・

でもねぇ、質問者様もちょっと考察不足かな。
因数分解の仕方がわからないとありましたが、もうちょっと頑張って、いろいろ式変形するとか、2～3時間くらい1つの式と睨めっこするのって大事ですよ。

さて、問題がよくわからなくなったので、整理させてください。

　a、b、cは
　 (1/a)＋(1/b)＋(1/c)＝1/(a＋b＋c)
　 a＋b＋c≠０，abc≠０
　を満たす実数であるとする。
　このとき、任意の奇数nに対して
　 (1/a^n)＋(1/b^n)＋(1/c^n)＝１/(a＋b＋c)^n
　が成り立つことを示せ。

でよろしいでしょうか。

take_5 · Answer

＞でその因数分解のしかたは？

分母を払ったものをaについてそろえれば、aの２次式になるだろう。
そんな因数分解も出来ないのか。

take_5 · Answer

abc(a＋b＋c)≠0の条件で分母をはらい因数分解すると、(a＋b)(b＋c)(c＋a)＝0.となる。
例えば、a＋b＝0とすると、右辺＝１/（a＋ｂ＋ｃ）＾ｎ＝１/（ｃ）＾ｎ。左辺＝（１/a＾ｎ）＋1/（-a)＾ｎ＋（１/ｃ＾ｎ）
左辺＝右辺であるためにはnが奇数でなければならない。偶数では成立しない。


こんな簡単な事がわかんないの？　君は高校何年生？

Quattro99 · Answer

> （１/a）＋（１/ｂ）＋（１/ｃ）＝１/（a＋ｂ＋ｃ）であり
> ａ＋ｂ＋ｃ≠０，a・b・c≠０を満たす実数である
> このときなぜ
> （１/a＾ｎ）＋（１/ｂ＾ｎ）＋（１/ｃ＾ｎ）＝１/（a＋ｂ＋ｃ）＾ｎ
> が満たされるんでしょうか？

満たされませんよ。
#5の反例の通り。
#4さんが示したとおり、nが偶数のとき成り立ちません。

ny_bigappl · Answer

（１/a）＋（１/ｂ）＋（１/ｃ）＝１/（a＋ｂ＋ｃ）ならば


（１/a＾ｎ）＋（１/ｂ＾ｎ）＋（１/ｃ＾ｎ）＝（１/（a＋ｂ＋ｃ）＾ｎ）

数学的（強化）帰納法つかったら証明できた。成立するね（驚いた）

A)n=1のときは成立

B)ｎ＜＝ｋのときは命題が成立すると仮定つまりいま

（１/a＾ｋ）＋（１/ｂ＾ｋ）＋（１/ｃ＾ｋ）＝（１/（a＋ｂ＋ｃ）＾ｋ）

ｎ＝ｋ＋１のとき

１/（a＋ｂ＋ｃ）＾（ｋ＋１）＝{１/（a+b+c）}{1/a^k+1/b^k+1/c^k}
={（１/a）＋（１/ｂ）＋（１/ｃ)}{1/a^k+1/b^k+1/c^k}
=1/a^（k＋１）+1/b^（k＋１）+1/c^（k＋１）＋(b^k+c^k)/a+(a^k+c^k)/b+(c^k+a^k)/c

続く

（１/a＾ｎ）＋（１/ｂ＾ｎ）＋（１/ｃ＾ｎ）

(b^k+c^k)/a+(a^k+c^k)/b+(c^k+a^k)/c

この回答への補足

ANo.15です。

こんにちは。

＞＞因数分解。

この回答への補足

> よろしいですが自分で解けました。

この回答への補足

#9の回答からケンカっぽくなってしまいましたねぇ。

この回答への補足

＞でその因数分解のしかたは？

この回答への補足

abc(a＋b＋c)≠0の条件で分母をはらい因数分解すると、(a＋b)(b＋c)(c＋a)＝0.となる。

この回答への補足

> （１/a）＋（１/ｂ）＋（１/ｃ）＝１/（a＋ｂ＋ｃ）であり

この回答への補足

（１/a）＋（１/ｂ）＋（１/ｃ）＝１/（a＋ｂ＋ｃ）ならば

この回答への補足

関連するカテゴリからQ&Aを探す

デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング

マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング