１３日の金曜日になる確率

Question

今日って１３日の金曜日なんですよね。
で、ふと思いました。１３日の金曜日になる確率ってどのくらいなんだろう？って。確立の勉強、学生の頃にしましたが、頭からスッカリ抜け落ちてるし…。
やり方＆どの位かを教えてもらえると嬉しいです！

aster · Accepted Answer

月日と曜日の組み合わせパターンは、グレゴリオ暦の構成から、４００年周期で同じパターンが繰り返されます。従って、４００年間の１３日の金曜日の数を計算すると、それでかなりの年月のあいだの組み合わせ数が表現できることになります。

かなりな年月というのは、何万年とか何十万年とかになると、もっと細かい閏年規則を入れないと、一年とそのなかの日数の正確な数が合わなくなるからです。

また、４００年周期での計算は、４００年をセットとして計算しないで、中途半端な５００年とか、６００年とかを計算すると、当然違う結果が出てきます。

とまれ、４００年周期の４００年のなかでの１３日の金曜の数は、以下の参考ＵＲＬの「◆T.Hirose さんからの解答」に載っています。わたしも手計算で確認しようと思ったのですが、面倒なので、途中でやめました。

２８年周期でパターンがあり、これだけだと、２８年分を計算すればよいのですが、「４で割れても、１００でも割れる年は、閏年でない」という規則があり、もう一つ「４で割れ、１００でも割れても、４００で割れる年は閏年である」という規則があって、２００１年から２４００年の４００年間で、三つの年つまり、２１００年、２２００年、２３００年について、上の２８年周期パターンが崩れ、ここで個別計算しなおさねばならないので、少し手間取るのです。

しかし、２８年周期計算をすれば、あとは個別パターン修正は、それほど難しいことではありません。

４００年を単位として計算すると、開始の年を何時にしても、その年から４００年間のなかに含まれる１３日の金曜日は同じ数になります。

しかし、４００年以外の年数（４００年の倍数は除きます）を単位に取ると、当然、１３日の金曜日の数や、出現確率は違ったものになり、更に、どの年を数える最初の年にするかで、例えば，同じ３００年の期間を取っても、その期間に含まれる１３日の金曜の数は違って来ます。

４００年間に含まれる１３日の月曜、火曜、水曜、木曜、金曜，土曜、日曜は、T.Hirose さんという方の計算では：

＞日  687回
＞月  685回
＞火  685回
＞水  687回
＞木  684回
＞金  688回
＞土  684回

このようになるそうで、金曜日が６８８日で一番多いです。４００年のなかに、１３日は４８００回あり、１３日であってかつ金曜であるのは、６８８／４８００＝０．１４３３３……ということになります。１／７＝０．１４２８５７１４……より、当然、少しだけ多いです。

わたしが自分で検算していませんので、数字がこれであっているのか分かりませんが、考え方は、これが妥当です。

（なお、非常に長期間で統計を取ると、グレゴリオ暦の規則を、上に述べたものに限定する限り、４００年周期の繰り返し効果が利いてきて、１３日が金曜日である確率は、１／７ではなく、上の６８８／４８００＝４３／３００に収束して行きます）。

＞カレンダー解答
＞http://web2.incl.ne.jp/yaoki/a_cal2.htm

参考URL：http://web2.incl.ne.jp/yaoki/a_cal2.htm

poor_Quark · Answer

答はすでに出ていますが、おもしろそうなので少しだけ参加させてください。実際に西暦2000年１月13日から2399年12月13日までの間の4800回の各月の13日が何曜日になるか簡単なプログラムを作って調べてみました（スパゲッティですが）。プログラムの条件はグレゴリオ暦のそれと同じで、
１．西暦年が４で割り切れる年は閏年
２．上のうち西暦年が100で割り切れる年は閏年とはしない
３．上のうち西暦年が400で割り切れる年は閏年とする
というものです。

　結果は月・火曜日685回、水・日曜日687回、木・土曜日684回、金曜日688回で確かに金曜日が一番多いと言う結果になりました。＃５の方も書いていらっしゃるようにつぎの４００年も曜日の割り当ては同じですのでグレゴリオ歴を使う限りは、この比率はずっと同じです。

　ところで、そのグレゴリオ歴ですが、400年間に97回の閏年を設けることにより暦と回帰年とのずれを修正しています。つまり400年間を146097日としているわけです。割り算すると1年は365.2425日となるわけで、実際の回帰年の長さ365.2422日との間にわずかですが差があります。グレゴリオ暦の400年をあと9回繰り返すうちには1日のずれを生じてしまいます。いつかは次の暦に移行しなければならないわけで、今までのように閏年を調整するやり方がとられるとすると、月の中の「日」と曜日の関係も変わってきますので、先に挙げた13日に当たる曜日の回数も変わってくるはずです。

　それからもう一つ。地球の公転周期は次第に遅くなっているそうです。テレビで見ましたが1mmから10mmの間の太陽系内のいわゆる宇宙のゴミが1日に約10億個地球大気に降り注いでいるとのことです。直接ぶつかることはほとんどないにしても、もっとずっと大きな物体が、数多く地球に接近しスイングバイしているかも知れないと考えると、公転周期にわずかですがいくらかの影響を与えているかもしれません。何百年、何千年という単位で考えるとこれも暦に影響を与える要素になり得ます。これが私たちの暦にいつどのような影響を与えるのかは予測できませんが。

　ということ、で＃１、＃４のかたがおっしゃるように「長期的」に見たらわずかな差もなくなり13日が金曜日に当たる回数は1/7に収束していく、といえます。

k-nksm · Answer

まず、現在の暦はグレゴリオ暦を採用しています。これは、400年で暦がひと回りするものです。
400年×365日＋97日（閏日）は7で割り切れます。

さて13日の金曜日ですが、20年程前の「科学朝日」という雑誌に掲載されていました。400年分のカレンダーのうち、繰り返しパターンを除いて、全てをリストアップして調べた結果、13日は金曜日が最も多い結果になりました。

ADEMU · Answer

１年という単位で考えるとわかりにくいですので、こういうふうに考えて下さい。
１／１３が何曜日かということで曜日は１年ごとに１つずつ（閏年の時は２つ）ずれていくので長い目で見れば金曜日のくる確率は収束して１／７に落ち着くと思います。
つまり、ある日（２／２９を除く）が何曜日になるかという考えは常に１／７ということです。

softfoods · Answer

「13日の金曜日」がどのくらいの頻度でおきるか？という意味でしたら、
12/7=1.7 
1年に1.7回の頻度でおきます。
（1年に13日が12回（毎月）あって、その日が特定の曜日（金曜日）になる確率）
ちなみにプログラムをちょこっと作って、1970-2010の41年間の「13日の金曜日」
を数えると、70回でした。70/41 = 1.7 なんであってそう。
今後は、2002/12/13,2003/6/13,2004/2/13,2004/8/13,2005/5/13,2006/1/13,
2006/10/13,2007/4/13,2007/7/13... に起こります。

noname#8570 · Answer

「１３日が何曜日になるか」は
「すべての暦上の１３日からランダムに一つの１３日を取り出したときに，その１３日が金曜日になる確率」
という意味でよいのでしょうか？
それでしたら，acacia7さんの言うとおり1/7だと思います．
また，
「次の１３日が金曜日になる確率」や
「○○年□□月の１３日が金曜日になる確率」
はその日が金曜日なら１，他の曜日なら０になります．
これは，暦は過去未来すべて一つに決まっていて，
それ以外選択肢がないことから分かります．
（sample spaceの要素が一つしかない．）

acacia7 · Answer

長期的にみたら、「１３日が何曜日になるか？」については
特に偏向性はないと思います。
つまるところ、7分の1ってことです。

１３日の金曜日になる確率

答はすでに出ていますが、おもしろそうなので少しだけ参加させてください。

まず、現在の暦はグレゴリオ暦を採用しています。

１年という単位で考えるとわかりにくいですので、こういうふうに考えて下さい。

「13日の金曜日」がどのくらいの頻度でおきるか？という意味でしたら、

「１３日が何曜日になるか」は

長期的にみたら、「１３日が何曜日になるか？」については

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