整数問題

整数問題

ｘ、ｙを1桁の自然数とするとき、等式(10+x)/(10x+y) = 1/y　を満たす(ｘ、ｙ)の組は何通りあるか
という問題です。

私の考えは何とか積の形にもって行きました。

(10+x)/(10x+y) = 1/y
y(10+x)=10x+y
xy-10x+9y=0
x(y-10)+9(y-10)=-90
(x+9)(y-10)=-90
となりました。

ここからある数とある数をかけて－90になる物を探そうとしましたがかなりの組み合わせがあります。

ここから先、どのように進めていくのかわかりません。すいませんが解説をお願いします。また、どのように数を絞っていけばいいのですか？

No.6 ベストアンサー 回答者： noname#57316 回答日時： 2008/01/08 23:13

(10+x)/(10x+y) = 1/y

の左右両辺の逆数を取ると
(10x+y)/(10+x) = y
左辺 = (10x+y)/(x+10) = {10(x+10)+(y-100)}/(x+10)
= 10-{(100-y)/(x+10)}
∴　{(100-y)/(x+10)} = 10-y
(100-y)/(10-y) = x+10　　　　（1）
1 ≦ x ≦ 9　より
11 ≦ (100-y)/(10-y) ≦ 19
11 ≦ (100-y)/(10-y)　より、
110-11y ≦ 100-y
10y ≧ 10
y ≧ 1
(100-y)/(10-y) ≦ 19　より、
190-19y ≧ 100-y
18y ≦ 90
y ≦ 5
∴　1 ≦ y ≦ 5
yは、5 通りしか許されないから、（1）に、
1 ≦ y ≦ 5 のyを順次代入して可能な解を調べる。
a）　y = 5　のとき、
95/5 = 19 = 9+10　→　（x = 9,y = 5）
b）　y = 4　のとき、
96/6 = 16 = 6+10　→　（x = 6,y = 4）
ｃ）　y = 3　のとき、
97/7 = 13+(6/7)　→　（解なし）
d）　y = 2　のとき、
98/8 = 12+(2/8)　→　（解なし）
e）　y = 1　のとき、　
99/9 = 11 = 1+10　→　（x = 1,y = 1）
故に、解は三組ある。

No.5 回答者： take_5 回答日時： 2008/01/07 00:37

(x+9)(y-10)=-90より、(x+9)(10-y)＝90。

但し、1≦x≦9、1≦y≦9.
90＝90*1、45*2、30*3、18*5、15*6、10*9、and、x+9＞10-yより組み合わせは、（x+9、10-y）＝（90、1）、（45、2）、（30、3）、（18、5）、（15、6）、（10、9）の6通りのみ。
そのうちで、1≦x≦9、1≦y≦9を満たすのは何通り？

No.4 回答者： waseda2003 回答日時： 2008/01/07 00:02

x，y が1桁の自然数であるということは

　　1 ≦ x ≦ 9 ， 1 ≦ y ≦ 9
ということですから，
　　10 ≦ x + 9 ≦ 18 ， -9 ≦ y - 10 ≦ -1
に限られます。
特に， 10 ≦ x + 9 ≦ 18 の範囲に90の約数は 10，15，18 しか
ありませんから，それほど大変ではないと思いますが。

No.3 回答者： sanori 回答日時： 2008/01/06 23:16

かけて－９０になる、という着眼は、とても良いですね！

ｙは１桁の自然数。
｜ｙ－１０｜　は、１から９までの自然数です。

９０の約数でなくてはいけないので、
｜ｙ－１０｜　＝　１または２または３または５または９
となり、この時点で５通りに絞られます。

ｙ－１０＝－１のとき　ｘ＋９＝９０
ｙ－１０＝－２のとき　ｘ＋９＝４５
ｙ－１０＝－３のとき
（以下、略）

No.2 回答者： noname#101087 回答日時： 2008/01/06 23:11

>(x+9)(y-10)=-90

・ (x+9)(10-y)=90 とする。
・90 を素数分解しておく。
あとは、素数分解を二分するしらみつぶし。

さしあたり、最単純な発想ですけど....。

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/01/06 22:52

>ここから先、どのように進めていくのかわかりません。

x, y は 1 桁の自然数なんで。