数IＡ

　整数の約数の個数の求め方がわかりません。
例）整数５４００の正の約数は全部で（(1)）個ある。
　　またこれらの約数の総和は（(2)）である。ただし、１と５４００
　　自身も約数とする。
　この（）の中の答えは(1)４８と(2)１８６００なんですが
　解き方がわかりません。お願いします。

No.6 回答者： love_aice5 回答日時： 2008/01/14 00:40

この手の問題は定石があります。

(1)5400を素因数分解すると　2^3・3^3・5^2となります。

だから5400の正の約数は2^a・3^b・5^c
(a=0,1,2,3:b=0,1,2,3:c=0,1,2)

なのでaの定め方は0～3の4通り
各々についてbは4通り
　　　　　　cは3通り　　

なので積の法則から5400の正の約数は4・4・3=48(個)

(2)5400の正の約数は
(1＋2＋2^2＋2^3)(1＋3＋3^2＋3^3)(1＋5＋5^2)
を展開した項で表せます。

なので求める和は(1＋2＋2^2＋2^3)(1＋3＋3^2＋3^3)(1＋5＋5^2)=18600

おそらく教科書にも載ってるかと思いますので参照ください。

No.5 回答者： key-boy 回答日時： 2008/01/13 22:00

５４００＝２^3×３^3×５^2

より（３＋１）×（３＋１）×（２＋１）＝４×４×３＝４８

（１＋２＋２^2＋２^3)(１＋３＋３^2＋３^3)(１＋５＋５^2)
＝（１＋２＋４＋８)(１＋３＋９＋２７)(１＋５＋２５）
＝４０＊１５＊３１＝１８６００

No.4 回答者： uehashu 回答日時： 2008/01/13 21:41

約数問題や倍数問題の基本は素因数分解です。

5400 = 2^3 * 3^3 * 5^2

ですね。

(1)例えば、2^3を見てみると、2^0、2^1、2^2、2^3のときにそれぞれ約数があります。5400はどれでも割り切ることが出来ますよね？
つまり、2^mのとき、(m+1)通りの約数が存在することになります。
これがそれぞれ3と5にもいえますので、

(3+1) * (3+1) * (2+1) = 48

となります。

(2)まず回答を示します。

(1+2+4+8) * (1+3+9+27) * (1+5+25) = 18600

となります。これは因数分解された関数の展開式と取ることができます。
最初の括弧は (2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3)です。
この式は、2つの項を固定してしまえば理解しやすいとおもいます。

No.3 回答者： sanori 回答日時： 2008/01/13 21:36

（１）だけ

５４００を素因数分解すると
２が３個、３が３個、５が２個。
言い換えれば、
赤い玉が３個、青い玉が３個、緑の玉が２個。
玉の選び方は、赤と青が４通り（０～３個）、緑が３通り（０～２通り）

３色の玉の選び方を書き出してみると、
赤０、青０、緑０　（１に相当）
赤０、青０、緑１　（５に相当）
赤０、青０、緑２　（２５に相当）
赤０、青１、緑０　（３に相当）
赤０、青１、緑１　（１５に相当）
・・・・・
赤３、青３、緑２　（５４００に相当）

というわけで、
「約数の個数を求めよ」
は、
「玉を選ぶ場合の数を求めよ」
と同じ。

赤４通り　×　青４通り　×　緑３通り
　＝　４８

No.2 回答者： ngtk 回答日時： 2008/01/13 21:34

すいません＃１です。

抜けている箇所があったのでもう一度乗せます。

（１）
まずはじめに5400を因数分解します。
すると5400＝2^3*3^3*5^2というふうになります。
約数はかならずこの因数（2、3、5）の要素を持つことになりますよね。
そこで約数をこのように考えます。
2^ｘ*3^ｙ*5^ｚ
ｘ＝0,1,2,3のいずれかｙ＝0,1,2,3のいずれかｚ＝0,1,2のいずれかを入れることによって、約数はすべてあらわせるわけです。
なのでxyzの組み合わせを考えると4*4*3＝54となります。
（２）式だけを示すと
（2^0+2^1+2^2+2^3）*（3^0+3^1+3^2+3^3）*(5^0+5^1+5^2）=18600
となります。これを展開してみるとわかると思うのですが、最終的な答えは約数の総和になります。

No.1 回答者： ngtk 回答日時： 2008/01/13 21:31

（１）

まずはじめに5400を因数分解します。
すると5400＝2^3*3^3*5^2というふうになります。
約数はかならずこの因数（2、3、5）の要素を持つことになりますよね。
そこで約数をこのように考えます。
2^*3^ｙ*5^ｚ
＝0,1,2,3のいずれかｙ＝0,1,2,3のいずれかｚ＝0,1,2のいずれかを入れることによって、約数はすべてあらわせるわけです。
なのでxyzの組み合わせを考えると4*4*3＝54となります。
（２）式だけを示すと
（2^0+2^1+2^2+2^3）*（3^0+3^1+3^2+3^3）*(5^0+5^1+5^2）=18600
となります。これを展開してみるとわかると思うのですが、最終的な答えは約数の総和になります。