外心

こんばんは。

鈍角三角形の外信は、その三角形の外部にあることを示せ。

この問題がよくわかりませんでした。
確かに三角形の外部になるのですが、なぜなるのかがわかりません。

どうしてそうなるの教えてください・。
よろしくお願いいたします。

No.4 回答者： Ishiwara 回答日時： 2008/02/26 01:08

外心が△の内側（または辺上）にあるとすると、外心と各頂点を結ぶことによって、△の内角は、それぞれ（a+b）、（b+c）、（c+a）ですから、a+b+c＝90度となります。

したがって、（a+b）、（b+c）、（c+a）のいずれも90度を超えることはできません。
この「対偶」を考えると、90度を超えた角がある△は、外心が外部になければなりません。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2008/02/24 22:02

図形で考えても証明できるはずです. 以下証明の概略 (といえば概略):

三角形ABC において A が鈍角だと仮定します. 辺BC の中点を D, D を通る BC の垂線と辺AB または AC との交点を E とします. D を通る半径DB の円はその内部に点A を含むことから DB > DA であり, このことから線分DE 上には XB = XA (または XC = XA) となる点X は存在しないことがわかります (実際には XB(XC) ≧ DB(DC) > DA ≧ XA が証明できます).
三角形ABC の外心は直線DE 上にあり, かつ線分DE 上にはありませんから三角形の外部に存在します.

No.2 回答者： mamoru1220#1 回答日時： 2008/02/24 19:44

No1さんの仰る通りにやればよいと思います。

図を書いて、その下にでも「図より」と一言言えば書きやすくなるかと。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2008/02/24 18:35

鈍角三角形とその外接円を描いて, 円周角と中心角の関係をみればわかる... かな?

この回答へのお礼

Tacosanさん
ありがとうございました。
参考になります。

「示す」ように問題で言われていた場合はやはり、言葉と図をかねて書いたほうがよいのでしょうか。

お礼日時：2008/02/24 18:57