次の問題が解けずに困っています。
[問]もしe^(3t+8t^2)が確率変数Xの積率母関数ならばP(-1<X<9)を求めよ。
[解]
f(t):=e^(3t+8t^2)と置くと,
f'(t)=(3+16t)e^(3t+8t^2),
f"(t)=(3+16t)^2e^(3t+8t^2)+16e^(3t+8t^2)
からf'(0)=3,f"(0)=25
よって E(X)=4,E(X^2)=25
これから先に進めません。どうすればいいのでしょうか?
尚,積率母関数とは
ある正の数t_0が存在して全てのt∈(-t_0,t_0)に対し,e^(tX)の期待値が存在するな
らばXの積率母関数をM_X(t):=E(e^tX) で定義する
というものだと思います。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
>> そうしたら、P(-1<X<-9) = P(μ-σ<X<μ+1.5σ) であることを理解する。
> すいません。この1.5は何処から来たのでしょうか?
いやー、度重なる誤記、ごめんね。
求めるのは P(-1<X<-9)じゃなくて、P(-1<X<9)ですね。
正規分布ですから、P(-1<X<9) を P(μ-aσ < X < μ+bσ) の形に表せれば、あとは正規分布表から確率は求められますよね。
ここで、平均 μ が 3 、標準偏差σ が 4 と分かっているので、
-1 = μ - σ
9 = μ + 1.5σ
ですから、P(-1<X<9) = P(μ-σ<X<μ+1.5σ) です。ということで、求める確率は、X が平均-σ から平均+1.5σの範囲に入る確率で、正規分布表から拾い出して計算します。
>>> そうしたら、P(-1<X<-9) = P(μ-σ<X<μ+1.5σ) であることを理解する。
>> すいません。この1.5は何処から来たのでしょうか?
:
> は、X が平均-σ から平均+1.5σの範囲に入る確率で、正規分布表から拾い出して計
> 算します。
どうも有り難うございました。
お陰様で理解できました。
No.2
- 回答日時:
#1 誤記訂正です。
誤 教科書で積分布の積率母関数の形を調べる。
正 教科書で正規分布の積率母関数の形を調べる。
誤(これはすでに計算済みで平均 μ = 3,分散 σ^2 = 4ですね)
正(これはすでに計算済みで平均 μ = 3,分散 σ^2 = 16, σ = 4 ですね)
以上です。
ご回答有難うございます。
> そうしたら、P(-1<X<-9) = P(μ-σ<X<μ+1.5σ) であることを理解する。
すいません。この1.5は何処から来たのでしょうか?
No.1
- 回答日時:
> e^(3t+8t^2)が確率変数Xの積率母関数
この積率母関数は何分布の積率母関数ですか?
正規分布の積率母関数です。
ここから先はご自分でどうぞ。
手順は、
教科書で積分布の積率母関数の形を調べる。
与えられた積率母関数から、正規分布の平均値と分散を拾う。
(これはすでに計算済みで平均 μ = 3,分散 σ^2 = 4ですね)
そうしたら、P(-1<X<-9) = P(μ-σ<X<μ+1.5σ) であることを理解する。
さらに、P(μ-σ<X<μ+1.5σ) = P(μ-σ<X<μ) + P(μ<X<μ+1.5σ)であることを思い出す。
正規分布表から P(μ-σ<X<μ) = 0.3413, P(μ<X<μ+1.5σ) = 0.4332 であることを拾い出す。
最後にそれらを足して P(-1<X<-9) = 0.3413+0.4332 = 0.7745 を得る
おわりです。
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