ガソリンスタンドのゲーム理論

Question

ガソリンが安くなったのですが、
ガソリン価格を表示しない店も出てきました。
そこで、

・ガソリンを表示する店A
・ガソリンを表示しない店B
・近隣に２店舗のみ
・客のスタンドを選択する判断はガソリン価格だけ
・ガソリンが安くなる前は、客の入りは５０：５０
・表示する店Aは２５円下げられる内の２０円下げた

この条件下で、今後の客の入りをゲーム理論で解決できるのでしょうか。
できるとしたら、簡単な解決式を
できないとしたら、あとどのような条件が必要か
教えてください。
よろしくお願いします。

noname#78613 · Accepted Answer

Ｎｏ．２に間違いがあったので訂正します＾＾；
本質的な間違いではないのですが混乱は避けたいので。。。

「以下で仮定a)を加えるとどうなるかについて書きたいと思います。
（仮定b)については、今まで話してきた設定の下では重要な意味を持ちません。
誰かが無思慮にＢ店を訪れて価格を知ることができた。残りの消費者は
その情報を共有してＡとＢを選ぶという結論になります。以下で書きますが、
消費者が頭を働かせて行動するなら、店Ｂを選ぶことはありえません。
つまり仮定b)が重要になるのは、初めに店Ｂを利用する無思慮な消費者の
存在です。）」

が間違いで、次のように訂正します。

「以下で仮定a)とb)を加えるとどうなるかについて書きたいと思います。

仮定b)があることによって、費用cがPaより高い場合を除いて、店Ｂは
店Ａより高い価格を設定することはしないことになります。つまり、
店Ｂはある種の『ぼったくり』をすることはできないことになります。
仮にある客にそのようなことをすれば、そのことが残りの消費者に
うわさとして広がり、誰も店Ｂを利用しなくなるからです。」

noname#78613 · Answer

最後の結論部分の補足をしておきます。

もしＢ店にも価格を表示するというオプションがあるなら、結論は
「店Ｂは消費者が全員Ａ点を選ぶを見越して、Ａ店と同じ価格を表示する。
したがって、客の入りはＡ５０、Ｂ５０。」となります。

そうでないなら、Ｎｏ．２の結論になりますね。

noname#78613 · Answer

議論をする前に、まず「ガソリンを表示しない」という仮定について
はっきりさせておく必要があると思いました。Ｎｏ．１では私は価格を
費用をかけずに知ることができると仮定しました。その場合、価格を
表示しないことの意味はありません。合理的期待形成とか専門用語を
出して説明しましたが、実はそのような話をするまでもなく、消費者は
とりあえず店Ｂに値段を聞いて、それからＡとＢのどちらでガソリンを
いれるか考える、というのが最適な行動になります。

「ガソリンを表示しない」について上記のような解釈をするならば、
費用関数がわからなくても、消費者１人１人が行動してもＮｏ．１と
同じ結果になります。

以下では
a)Bの費用関数は分からない
b)消費者は一人一人行動し、情報を共有できる(ただし始めの一人は分からない)
の仮定に意味を持たせるために、ゲームの設定を次のように変更しますね。
すなわち、

「消費者はＡかＢのどちらか一方だけを選択しなければならない。一度
店に訪れればそこでガソリンを入れなければならない」

という設定にします。まぁ、消費者が凄く急いでいる、という解釈でしょうか。


以下で仮定a)を加えるとどうなるかについて書きたいと思います。
（仮定b)については、今まで話してきた設定の下では重要な意味を持ちません。
誰かが無思慮にＢ店を訪れて価格を知ることができた。残りの消費者は
その情報を共有してＡとＢを選ぶという結論になります。以下で書きますが、
消費者が頭を働かせて行動するなら、店Ｂを選ぶことはありえません。
つまり仮定b)が重要になるのは、初めに店Ｂを利用する無思慮な消費者の
存在です。）

※記号を使って少しだけ数学的になるのですが、そこは許してくださいね＾＾；

議論の中心は消費者がどのような価格を予想するかです（合理的期待形成）。
今店Ｂの費用について、Ｎｏ．１を発展させて、cがある確率分布F(c)に
従うと仮定しましょう。

Paを店Ａの設定した価格だとすると、Ｎｏ．１の議論から、店Ｂは確率
F(Pa)で価格をPaに、確率1-F(Pa)で価格をcに設定します（c<Paの場合
ＢはPaよりも少しだけ低い価格を設定しますが、その価格はできるだけ
Paに近いほうが良いので、ここでは近似的にPaとします）。したがって、
消費者が予想する価格をPeとすると、

Pe = Pa * F(Pa) + ∫_{Pa}^{∞}c F(c)　　（※）

となります。ここで「∫_{Pa}^{∞}c F(c)」はcがPa以上となるという条件
のもとでのcの期待値です。（※）を次のように変形します。

Pe = Pa * F(Pa) + Pa * [1 - F(Pa)] - Pa * [1 - F(Pa)] + ∫_{Pa}^{∞}c F(c)
   = Pa - ∫_{Pa}^{∞}Pa F(c) + ∫_{Pa}^{∞}c F(c)
   = Pa + ∫_{Pa}^{∞}(c-Pa) F(c)
   > Pa

すなわち、Pe > Pa　になります。直感的には、Ｂはコストに余裕が
あってもどうせPaの価格を設定する。そうでない場合はcまでしか
下げない。平均的にみたらＡの価格の方が安いだろう。

ということで、消費者は全員Ａ点を選ぶことになります。

noname#78613 · Answer

質問者様が考えているゲームをプレイヤーが店Ａ，Ｂ、消費者（全ての
消費者が同時に行動）で、かつこの順に行動をする１回限りの動学ゲームと
解釈して回答したいと思います。（勿論、この解釈しだいで回答は違ってきます）

ゲームの帰結を知るためには、何らかの条件を加える必要があると思います。
思いついたものを２つ以下に書きたいと思います。

(1)消費者が価格について静学的期待形成をする

消費者が店Ｂは実は価格を据え置いていると考えるとすると、すべての
消費者は店Ａを利用することになり、客の入りはＡが１００、Ｂは０
となります。


(2)消費者が価格について合理的期待形成をする＋店Ｂの費用関数が知られている
＋店Ｂの価格を知るのにコストが掛からない

消費者が店Ｂのガソリン価格について合理的に期待を形成するとします。
ここで合理的に期待を形成するとは、消費者が予想する店Ｂのガソリン価格は、
店Ｂの価格を確率変数として考えて、その数学的期待値に等しい、とする
ことを意味します。

期待値を求めるためには価格の確率分布を知る必要があります。どれくらいの
確率でいくらになるのか、という予想のことです。そのために、店Ｂの
（利潤最大化）行動を考える必要があります。

Ｂがガソリン１単位を販売する費用をcとしましょう（固定費用を無視して
限界費用＝平均費用にしますね）。ガソリン価格をP、販売するガソリンの
料をXとすると、利潤πは

π = PX - cx = ( P - c )X

となります。

今、店Ａが２０円引き下げたあとの価格をPaと呼ぶことにします。
するとＢの利潤最大化については次の３つの場合わけが考えられます。
i) c < Pa
ii)c = Pa
iii) c > Pa

なお、ここで、消費者がＢの価格を知るのに費用が掛からないという仮定
を追加します。これは「消費者がＢのガソリンスタンドに行って、まず
値段を聞き、それを聞いてからガソリンを入れるか入れないかを決定する。
高いようならＡの店に行く。そしてそうすることになんら費用が
かからない。」ということです。実際は移動時間とかあるでしょうが、
現実的に考えてそういうのは無視して考えてみます。（ちなみに、この
仮定があることで、Ｂが価格を据え置いた場合需要はゼロになります）

i)の場合、ＢはPaよりもほんの少しだけ価格を引き下げることで需要を
独占することができ、最大の利潤を得ることができます。したがって、
この場合Ｂは確率1でPaよりも低い価格を設定することになります。
すると合理的期待形成の仮定から、消費者の予想する価格もPaより低い
価格となり、結果、客の入りはＡがゼロ、Ｂが１００になります。

ii)の場合、利潤最大化の結果としてＢはＡと同じ価格を設定することに
なります。i)と同様の議論から、消費者が予想する価格はPaとなり、
客の入りはＡが５０、Ｂが５０となり、以前と変わりません。

iii)の場合、Ｂが価格を可能な限り引き下げてもcまでです。したがって
消費者は安いＡの方を利用し、客の入りはＡが１００、Ｂが０となります。


以上２つのケースについて考えてみましたが、より現実的なのは(2)の方です。
(2)の仮定を更に現実的に変えていくことでもっと現実的な分析ができると
思います。たとえば、Ｂの費用関数が知られておらず、消費者が予想して
行動するとか。あるいは消費者が全員同時に行動するのではなく、１人
１人行動するとか。

ガソリンスタンドのゲーム理論

Ｎｏ．２に間違いがあったので訂正します＾＾；

最後の結論部分の補足をしておきます。

議論をする前に、まず「ガソリンを表示しない」という仮定について

質問者様が考えているゲームをプレイヤーが店Ａ，Ｂ、消費者（全ての

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