効用最大化条件が限界代換率＝価格比になる理由を教えてください！グラフや数式で教えてくださると助かりま

効用最大化条件が限界代換率＝価格比になる理由を教えてください！グラフや数式で教えてくださると助かります(^^)

No.1 ベストアンサー 回答者： gootarohanako 回答日時： 2019/01/27 21:45

消費者の効用最大化問題とは

max U=u(X,Y)
s.t.
PxX+PyY=I

の問題を解くこと。ここで、PxはX財の(市場)価格、PyはY財の価格、XとYはそれぞれX財、Y財の消費量、Iは当該消費者の所得であり、U=u(X,Y)は（当該消費者の）効用関数。
あなたは最大化のラグランジュ法というのを習いましたか？それを用いるなら、λをラグランジ乗数としてラグランジュ関数を
L=u(X,Y) + λ（I - PxX - PyY)
と書くなら、上の条件付き最大化問題の1階の条件は

0 = ∂L/∂X=∂u/∂X - λPx
０＝∂L/∂Y=∂u/∂Y - λPｙ
０＝∂L/∂λ＝I-PxX-PyY

で与えられる。1番目と2番目の式から
MRS≡∂u/∂X/∂u/∂Y＝Px/Py
が導かれる。つまり、限界代替率＝価格比を満たすようにXとYを選択するということが、上の最大化問題の解である、ということだ。