似た問題なのに、解き方がまるで違う問題

こんばんは。似たような問題なのに、同じ解き方では解けずに困っています。

問A
500以下の3桁の整数、3で割っても7で割っても9で割っても2余る数の総和はいくらか。

6(128+443)/2=1713　と、順調に正解できました。


問B
250以下の自然数で、4で割っても6で割っても2余る数の総和はいくらか。

僕の解き方
20(14+242)/2=2560　…かと思いきや、2560は選択肢にありませんでした。

テキストの解説
21(2+242)/2=2562　…が正解だそうです。

疑問点1　なぜ21をかけるのか？
テキストには12+2、24+2…の20個、更に2もあるのであわせて21だと記されています。しかし、それだと問Aの時に使った式で、6をかけるというのと食い違いますよね。

疑問点2　なぜ2+242なのか？
2は「4・6で割っても…」という条件とはなんら関係のない数字のように思えますが、なんで突然2がでてくるのですか？問Aでも2なんてでてきませんよね…。

かなり混乱しています。宜しくお願いします。

No.6 ベストアンサー 回答者： i_noji 回答日時： 2008/04/23 20:23

#1です

書いていただいた補足を問Ｂ用に書き換えてみました
見比べてみてください

250以下の自然数で、4で割っても6で割っても2余る数の総和はいくらか。

４でも６で割っても…なので、まず１２を求めました。
↓
２余るのだから、＋２で、「１４」
（「１４」と書かずに「１２の倍数＋２」のほうがいいんじゃないかな）
↓
２５０以下と言う条件があるので、１２×２０＝２４０。＋２で、「２４２」。
↓
３桁という条件等はないので、当てはまるのは２～２４２の２１コ。
↓
公式に当てはめて、21(2+242)/2=2562
（公式って等差数列の和の話かな？台形の面積の式を考えてみてもいいかも）

下から２行目の話
問Ａでの
＞３桁という条件があるので、当てはまるのは１２８～４４３の６つ。
のなかの「１２８」は
下から３行目の書き方をすると
６３×２＋２＝１２８　だけど
これって
１２８÷６３＝２　あまり　２　であって
「４４３」は
４４３÷６３＝７　あまり　２　です
500以下の3桁の整数、3で割っても7で割っても9で割っても2余る数
をならべると
１２８÷６３＝２　あまり　２
１９１÷６３＝３　あまり　２
２５４÷６３＝４　あまり　２
３１７÷６３＝５　あまり　２
３８０÷６３＝６　あまり　２
４４３÷６３＝７　あまり　２
　　　　　　　 　↑ここを見ると
２～７なので、７－２＋１＝６つということも分かりますね
”3桁の整数”という条件があるから”２から”なんです。

じゃあ、250以下の自然数で、4で割っても6で割っても2余る数、を考えると
　　２÷１２＝　０　あまり　２
　１４÷１２＝　１　あまり　２
　　　　　・・・
２３０÷１２＝１９　あまり　２
２４２÷１２＝２０　あまり　２
　　　　　　　 　　↑
０～２０なので、２０－０＋１＝２１コ

”3桁の整数”という条件がないから「”０から”ですよ」、と
長々と書きましたが、ようするに↑です。

この回答へのお礼

その前に一つ。今回書いていただいた書き込みに対してお返事をきちんとつけさせていただいたつもりでしたが、どういうわけか投稿が反映されていなかったようです（~_~;）。そのことに、今、初めて気がつきました。結果的に、遅くなってしまい、申し訳ありませんでした。

＞２÷１２＝　０　あまり　２
＞”3桁の整数”という条件がないから「”０から”ですよ」

つまるところ、２÷１２のあまりが２である、ということに僕が気付かなかったということが、今回の不明点の真実だったというわけですね。そういうことであれば、大丈夫だと思います。

ありがとうございました。

お礼日時：2008/05/03 18:42

No.5 回答者： take_5 回答日時： 2008/04/23 17:22

ついでに

問A
500以下の3桁の整数、3で割っても7で割っても9で割っても2余る数の総和はいくらか。

9は3の倍数でもあるから、求める数をＮとすると、Ｎ＝7x+2＝9y+2　を考えると良い　‥‥(1)　従って、7x＝9y　‥‥(2)
mを整数として、7と9は互いに素から、x＝9m、y＝7mとなるから、Ｎ＝7x+2＝9y+2＝7（9m）＋2＝9（7m）＋2＝63m+2である。
又、Ｎが500以下の3桁の整数から、100≦63m+2≦500.　よつて、2≦m≦7.　
以上から、Ｎの和＝63*（2＋3＋‥‥‥＋6＋7）＋2*6＝1713.

この程度の解法は是非理解していて欲しい。
余りが2で同じだから簡単にいくが、余りが異なれば、最初のように不定方程式が必要になる。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2008/04/27 09:58

No.4 回答者： take_5 回答日時： 2008/04/22 23:03

＞この式での解き方は、初めてみたので、ちょっと今の僕には難しいです…。

それなら簡単にしてやろう。

求める数をＮとすると、Ｎ＝4x+2＝6y+2　‥‥(1)　従って、2x＝3y　‥‥(2)
mを整数として、2と3は互いに素から、x＝3m、y＝2mとなるから、Ｎ＝4x+2＝6y+2＝4（3m）＋2＝6（2m）＋2＝12m+2である。
又、Ｎが250以下の自然数から、1≦12m+2≦250.　よつて、0≦m≦20.　
以上から、Ｎの和＝12*（0＋1＋2＋‥‥‥＋19＋20）＋2*21＝2562.

これなら、簡単だろう。普通の高校生なら理解可能だろう。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2008/05/03 18:44

No.3 回答者： okormazd 回答日時： 2008/04/20 21:48

条件

問A
3桁の整数

問B
自然数　(=1,2,3・・・)

>2は「4・6で割っても…」という条件とはなんら関係のない数字
2÷4=0 余り2
2÷6=0 余り2

この回答へのお礼

ありがとうございます。

＞2÷4=0 余り2
＞2÷6=0 余り2

おぉ!!　今まで僕は、割る数字よりも小さい数字も含めて解く、というタイプの問題には出会ったことがなかったので、新鮮でした。

追加で質問させてほしいのですが。「２÷…」でやっても必ず２余る、ということに気付くためには、何をヒントにしたらよいのでしょうか。

お礼日時：2008/04/22 21:40

No.2 回答者： take_5 回答日時： 2008/04/20 21:38

解法が違うので、参考にならないかも知れないが、確かに2562になる。

求める数をＮとすると、Ｎ＝4x+2＝6y+2　‥‥(1)
(1)の特別解を各々α、βとすると、4α+2＝6β+2　‥‥(2)
(1)－(2)より　2*（x-α）＝3*（y-β）となる。
mを整数として、2と3は互いに素から、x-α＝3m、y-β＝2mとなるから、αとβの具体例を求めると、（α、β）＝（3、2）。
従って、x＝3m＋3、y＝2m＋2　となる。
Ｎ＝4x+2＝6y+2＝4（3m＋3）＋2＝6（2m＋2）＋2＝12m+14であるが、Ｎが250以下の自然数から、2≦12m+14≦250.
よつて、-1≦m≦19.　‥‥‥（※）
以上から、Ｎの和＝12*（-1＋0＋1＋2＋‥‥‥＋19）＋14*21＝2562.


問題は（※）の部分の事だろう。
この方法で、問題Ａをやったが、正解に到達している。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

この式での解き方は、初めてみたので、ちょっと今の僕には難しいです…。

お礼日時：2008/04/22 21:35

No.1 回答者： i_noji 回答日時： 2008/04/20 21:22

解き方はいっしょだと思いますよ

まず、問Aの
＞ 6(128+443)/2=1713
はどうやって導かれましたか？

この回答へのお礼

ありがとうございます。

500以下の3桁の整数、3で割っても7で割っても9で割っても2余る数の総和はいくらか。

３でも７でも９で割っても…なので、まず６３を求めました。
↓
２余るのだから、＋２で、「６５」。
↓
５００以下という条件があるので、６３×７＝４４１。
＋２で、「４４３」。
↓
３桁という条件があるので、当てはまるのは１２８～４４３の６つ。
↓
公式に当てはめて、6(128+443)/2=1713

となりました。

お礼日時：2008/04/22 21:31