∫1/x√x^2+1を積分しろ
という問題があるのですが、解答をみると
√(x^2+1)=t-x
と、置き換えて積分していくのですが、僕は
√(x^2+1)=t
とおいて積分したのですが、これでは出来ないのでしょうか?
一応これでも計算はできた(つもり?)のですが、解答と答えが違っていたのでどこかで、ミス(思い違い?してはいけないことをした?)があったのかと思うのですが…。
答えは
log|{x-1+√(x^2+1)}/{x+1+√(x^2+1)}|
です。
僕の置換の方法でやると、
1/2log|√(x^2+1)-1/√(x^2+1)+1|
です。
No.1
- 回答日時:
式を変形すれば、答も質問者さんの解答も微分すれば、元の被積分関数に戻りますので、共に正解ですね。
不定積分だから積分定数Cをつけないといけませんが…。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
ふつうに書き始めましたが、多重括弧で目が回り、全角になってしまいました。
御検証ください。log|{x-1+√(x^2+1)}/{x+1+√(x^2+1)}|
|x-1+√(x^2+1)|
Log ――――――――――――
|x+1+√(x^2+1)|
|[x-1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]|
=Log―――――――――――――――――――――――――
|[x+1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]|
|[x-(1-√(x^2+1))][x+(1ー√(x^2+1))]|
=Log―――――――――――――――――――――――――
|(x+1)^2-(x^2+1)|
|x^2-(1-√(x^2+1))^2|
=Log―――――――――――――――
|2x|
|x^2-1+2√(x^2+1)-x^2-1|
=Log――――――――――――――――――
|2x|
-1+2√(x^2+1)-1
=Log――――――――――――
|2x|
√(x^2+1)-1
=Log―――――――――
|x|
[√(x^2+1)-1][√(x^2+1)+1]
=Log―――――――――――――――――
|x[√(x^2+1)+1]|
|x^2|
=Log――――――――――――
|x[√(x^2+1)+1]|
|x|
=Log――――――――――――
√(x^2+1)+1
=Log|x|-Log[1+√(x^2+1)]
------------------------------------------------------------
1/2log|√(x^2+1)-1/√(x^2+1)+1|
1 √(x^2+1)-1
――― ・ Log――――――――――――
2 √(x^2+1)+1
1 [√(x^2+1)-1][√(x^2+1)+1]
=――― ・ Log―――――――――――――――――
2 [√(x^2+1)+1][√(x^2+1)+1]
1 |x^2|
=――― ・ Log――――――――――――
2 [√(x^2+1)+1]^2
|x|
= Log――――――――――――
√(x^2+1)+1
=Log|x|-Log[1+√(x^2+1)]
-----------------------------------------------------------
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 t=tan(x/2)の置換積分について質問です。写真の問題では、(1)でt=tan(x/2)として、 6 2022/11/21 22:59
- 高校 数学III 積分 数学IIIの積分でf(ax+b)の積分公式がありますが b=0の時どのように考えれ 4 2022/09/30 02:06
- 数学 微分方程式の積分定数について 5 2023/07/13 08:39
- 数学 写真の問題について質問があります。 ①赤丸部分についてですが、グラフの面積がx軸で対称になっているか 3 2023/02/13 23:14
- 数学 複素関数で分からない問題があります。 ∫[0->π]1/(1+sin^2x)dx という積分を考える 5 2022/12/24 22:14
- 数学 回答者どもがなかなか答えられないようなので、考えてみました。 ∫[0,π/2]log(sinx)/( 4 2022/08/31 16:30
- 数学 二重積分 1 2023/01/28 19:51
- 数学 数学3の、定積分に関する質問です。 ∫上端e^2下端1{dx}/{x}という問題で、[log|x|] 1 2022/06/16 12:00
- 数学 積分の計算にてこづっています。2曲線の面積を求める問題なのですが [-1/2cos2x+cosx]上 4 2022/06/25 12:55
- 数学 2/x^2√(1-x)の不定積分のやり方を教えて欲しいです。自分では置換していくと2/t(1-t^2 2 2023/07/17 01:58
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
-
新NISA制度は今までと何が変わる?非課税枠の拡大や投資対象の変更などを解説!
少額から投資を行う人のための非課税制度であるNISAが、2024年に改正される。おすすめの銘柄や投資額の目安について教えてもらった。
-
積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?
数学
-
e^(x^2)の積分に関して
数学
-
∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません
数学
-
-
4
x/(x^4 +1)の積分
数学
-
5
e^-2xの積分
数学
-
6
∫1/√x dx 積分せよ 教えて下さい
その他(教育・科学・学問)
-
7
∫{x/(x+1)}dxの解き方
数学
-
8
1/(1-x)や1/(1+x)の積分形
数学
-
9
1/ a + bcosx (a,b>0)の 不定積分の計算のしかたを教えてください。
数学
-
10
積分 ∫√(4-x^2)dxについて
数学
-
11
偏微分の記号∂の読み方について教えてください。
数学
-
12
1 / (x^2+1)^(3/2)の積分について
数学
-
13
3行3列の行列の和と積の計算方法を教えて下さい。
数学
-
14
定積分
数学
-
15
不定積分∫dx/√(1-x^2)=arcsin(x)+Cの証明で
数学
-
16
『楕円球体の三重積分を極座標変換を用いて解く』がわかりません。
数学
-
17
1/(x*(x-1)^(1/2))の積分について
数学
-
18
∫sin^2x/cos^3xdxの解き方がわかりません! 教えてください!
計算機科学
-
19
化学
歴史学
-
20
e^(-x^2)の積分
数学
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
1/(1-x)や1/(1+x)の積分形
-
自然対数をとる?とは・・・
-
無次元量ではない量が対数や指...
-
関数電卓の使い方
-
y=x^(1/x) の 微分
-
両対数グラフでの直線の傾きと...
-
e^x=2のときのxの求め方
-
∫log(x^2)dxの不定積分を教えて...
-
log2の5は?
-
log3^1はなんで0になるんですか?
-
lim[x→∞]log(1+x)/x これってど...
-
超初歩的質問ですが・・
-
lnをlogに変換するには・・
-
数学Bです。 a1=1 an+1=2√anで...
-
∫{x/(x+1)}dxの解き方
-
256は2の何乗かを求める式
-
数学 極限値
-
2を何乗すると6になりますか? ...
-
なぜxがe^logxと変形できるので...
-
0あるいは負数の対数は存在し...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
1/(1-x)や1/(1+x)の積分形
-
e^x=2のときのxの求め方
-
自然対数をとる?とは・・・
-
256は2の何乗かを求める式
-
両対数グラフでの直線の傾きと...
-
∫{x/(x+1)}dxの解き方
-
log2の5は?
-
透過率から吸光度を計算する際...
-
関数電卓の使い方
-
lim[x→∞]log(1+x)/x これってど...
-
lnをlogに変換するには・・
-
eの指数の計算がわかりません。
-
2を何乗すると6になりますか? ...
-
関数電卓のlogについて
-
ln5はいくつ?
-
微分方程式dy/dx=1-y^2を解け。...
-
数学の関数についての質問です...
-
∫log(x^2)dxの不定積分を教えて...
-
超初歩的質問ですが・・
-
log3^1はなんで0になるんですか?
おすすめ情報