期待値は

期待値はいくつ
これはQNo.4378786の問題を参考に疑問点があるため、質問させていただきます。

２つの封筒が一組になったものがいくつかあります。
その中から１組をディーラーが選び、あなたはその２つの封筒のうちのどちらかを選ぶというものです。
その１組の２つの封筒は全く区別がつかず、中身はそれぞれ数字が書いた紙があり、小さいほうの数字をaとすると、もう一方は５aとなっています。
あなたは大きい方の数字を選びたいとして考えてください。

あなたが選んだものが５でした。
ここで、あなたに、もう一方の封筒と交換できるがどうするかとの提案がありました。

そこで、３つの意見がでました。

［意見１］５を選んだということは、（１．５）または（５，２５）の組み合わせであることがわかるので、もう一方の封筒は１または２５であり、最初に大きい方を選ぶか小さい方を選ぶかは確率1/2で、自分が選んだ５は大きい方である可能性も小さい方である可能性も1/2で同じと考えるられるので、もう一方の封筒の中身の期待値は
1×（1/2）+25×（1/2）＝13となり選んだ５よりも大きいので交換すべきである。

［意見２］５を選んだことで、最初の組み合わせが（１．５）または（５，２５）であることはわかるが、（１．５）と（５，２５）の組み合わせがどのような確率で用意されるか全く不明であるため、もう一方の封筒の中身の期待値は不明となり、交換すべきかどうかわからない。

［意見３］５を選ぶ前には、小さい方をaとすれば大きい方は５aでどちらの封筒の中身も期待値は３aであり、どちらの封筒を選んでも同じである。５選んだあとも、５が期待値よりも大きいか小さいかという情報が一切ない状況で、５を選んだ段階でどちらの封筒のほうが有利ということはないので、もう一方の封筒の方が期待値が大きく有利となるとは考えれないので、もう一方の中身の期待値は選んだ封筒と同じ５になるはずであり、選んだものと同じため交換しても有利とならない。

［意見１］は［意見２］でしめされているように（１．５）と（５，２５）の組み合わせがどのような確率で用意されるか不明であるのに、それぞれの用意される確率を1/2とした点にあるので、誤りだと思いますが。

［意見２］の（１．５）と（５，２５）の組み合わせがどのような確率で用意されるか不明であり、もう一方の封筒の期待値がわからないので、交換すべきかわからないとありますが、最初どちらの封筒も期待値は同じであったものが、５を選んだことによって、もう一方の封筒の期待値と選んだ封筒の数字が同じかどうかわからなくなったのはなぜか。

［意見３］については、前回質問（QNo.4378786）での私の回答ですが、選んだ５から逆に（１．５）と（５，２５）が最初にどのような確率で用意されたか考えるため、最初に用意された数字を期待値として求めると（5/3、25/3）となりこれは（１，５）が5/6の確率（５，２５）が1/6の確率で用意されたことがわかります。この場合もう一方の封筒の期待値は
1×5/6+２５×1/6＝５となり交換しても変わらない。結論は一番納得がいくものとなっていますが、循環論法のようなところがあり、自分でも気になっているところです。

５を選んだ段階でもう一方の封筒の数字の期待値はいくつになるのでしょうか。
［意見１］期待値13
［意見２］期待値わからない
［意見３］期待値5

どれですか。

No.1 回答者： fef 回答日時： 2008/10/23 19:11

初めに得られる数を確率変数 X で表し，

交換して得られる数を確率変数 Y で表します．

今回の問題設定では 5 を選んだ段階での話をしているので，
条件付きの期待値を求めるべきでしょう．
したがって，用いるべき確率は
条件付き確率 P(Y = 1 | X = 5) と P(Y = 25 | X = 5) ですね．

意見2ではこれらの確率でなく，
P(X = 5, Y = 1), P(X = 5, Y = 25) を使ってしまっています．
ここで考えている期待値は，その方法では求まりません．

意見3はそもそもの期待値の定義を逸脱して話をしているように思えます．