太陽光はどんな形の穴を通っても、地面に写ると丸くなる？

Question

太陽が丸いことの証明として、
「どのような形の穴を通しても、地面にうつる光の形は円型になる。」
と、有名な小学生用の教材に書かれているのですが、
「太陽光は直進する」という前提で考えると、これはおかしくないのでしょうか？
本当に丸くなるのだととしたら、
なぜなのか理解できません。どなたかご教授下さいませ。

stomachman · Accepted Answer

もし「どのような形の穴を通しても、地面にうつる光の形は円型になる。」なら、四角い窓から入る日差しが床に丸く写る？嘘でしょ。

　穴の直径に比べて、穴と地面との距離がうんと離れている場合に限って、つまり、地面から見て、太陽の見かけの大きさ（角度）に比べて穴の見かけの大きさの方が遙かに小さい場合にだけ正しい。
　なんでそうなるか。
　穴が上空に固定されているものとします。地面の上を歩き回りながら、穴を通して太陽が見えるかどうか、地面に印を付けていくところを想像してみて戴けませんか。立つ位置によっては太陽の縁が丁度穴を通して見える。そのような位置に印を付けていけば、ほら、丸くなります。
　いやそんなことしなくても、太陽が見える場所は地面が明るくなるからすぐ分かりますよね...という訳です。言い換えれば、針穴写真機で太陽の像を地面に写しているんですね。
　もちろん、太陽と地面が直交していなければ楕円になっちゃいます。

stomachman · Answer

難しい話が出てきてますので、その前の段階を少し補充しなくては。
　回折を考慮しないで「光は直進する」と考えた場合（幾何光学と言います）でも、穴が点でない限り「針穴写真機」の像には滲みが生じます。
　もし太陽の代わりに、点光源（うんと遠くにあるとします）からの光を四角い穴に通したとすれば、穴の形がその通り（大きさも変わらず）地面に写る筈です。点光源が２個あれば、地面には穴の像が２つ写ります。地面から見て２個の点光源の見かけの距離（角度）が小さければ、穴の２つの像が一部重なり合うでしょう。このような点光源がものすごく沢山あって、円盤を埋め尽くしている場合。これが太陽です。地面には穴の像がものすごく沢山出来て、しかも重なり合っている。円盤の一番端にある点光源による像は円盤の外側に光源が無いために多少穴の形を反映している訳です。数学の言葉で言うと、穴の透明度（このばあい透明か不透明かのどちらか）の分布と光源の明るさの分布の畳み込み積分(convolution)になる。こういう表現なら、穴の大きさや地面からの距離、光源の形や強度分布がどうあれ、その像を計算することができます。（ただし回折の効果は無視。）
　全く逆に、点状の穴を通して太陽の像を地面に写せば完璧な円盤の像ができる。穴が２個あれば円盤の像は２つできます。穴同士の間隔が小さければ像は重なり合うでしょう。穴をいっぱいあけて四角にした場合、地面に出来る像は、穴の透明度の分布と光源の明るさの分布の畳み込み積分になる。どちらの説明でも、答は同じになります。

　四角い窓を通る日差しの場合、穴の大きさに比べたら太陽は点光源みたいなものですから、像には穴の形がかなりハッキリ現れる。これも畳み込み積分で説明されます。この場合だって、像は完璧な四角ではなくて、多少縁がにじみます。床の上で、窓の縁に太陽がちょっとだけ見える位置、半分見える位置、ほとんど全部見える位置、というのがちょっとずつ違うから、床の明るさにグラデーションができるわけです。

　蛇足にペディキュアを付けるような話ですが、縁にある黒点が扁平に見えることなどは「太陽が球」という話であって、「太陽が円盤に見える」という事とは別問題と思われます。

ametsuchi · Answer

我が尊敬するstomachman大センセが完璧な答えを出されているので、発言を躊躇したのですが、「回折」という言葉が乱れ飛んでいるので、敢えて「蛇を画きて足を添え」ます。

nozom500氏がご指摘のように、この問題の場合、回折は完全に無視して構いません。同じ電磁波でも可視光線に比べて遥かに波長の長い電波ならこの場合、回折を無視できません。だからこそビル影でも携帯が通じるのです。騒音なんかもそうですね。こちらは迷惑な方ですが...。

「穴を過ぎた瞬間から円状に広がっていく」というのも間違いではないにせよ、安直で危険な考えです。波動を考える時、非常に一般的で（理論上は）強力な「Huygensの原理」と呼ばれるものがあります。ある光源から光が発せられた時、真空中なら球面状に広がって行きます（＝１次波）が、その球面上の各点を２次光源として、更に広がって行く（＝２次波）。ある観測点での光の強さは、2次波の重ね合わせで決るというものです。波には位相がありますから、単純な面積分ではなく、複素面積分になります。実用上は近似式を用いますが...。

真空、空気、ガラス、水では光の伝播速度が異なり、「屈折」などの現象を引き起こしますが、これを含めて殆どの光学現象はこの「Huygensの原理」で説明できます。ですから、それで考えるとこの問題は「開口」からの２次波の重ね合わせであり、波長に比べて開口が十分に小さい場合は「Fraunhofer回折像」と呼ばれる、中央の輝度が高いリング状の像となります。大きい場合は回折は無視できるわけで今回の場合はそれに相当します。

では開口がメチャ小さかったらどうなるか？この問題では光源が点ではなく、面積を持っていますから、先ず、S大センセの言われるような、太陽の像（＝円、または楕円）が出来た上で、周辺に回折による「滲み」が出ることになるでしょう。それが、リング状になるか、ボケた像になるか計算すれば分かると思いますが、あまり意味もないしメンドイので止めときます。

nozomi500 · Answer

すみません。先の文章「回折・かいせつ」と「解析・かいせき」と書き間違えしてました

nozomi500 · Answer

この場合、「回折」は関係ないでしょう。解析が問題になるのは、穴からはなれた影がぼやけて、もともと三角形の影が丸くなっていく場合です。

　stomachmanさんのおっしゃるとおり、穴をくぐる時に反対側に映った像が、元の形を反映しているだけです。

　見て丸い物が、穴を通して丸く映る、というだけです。穴を通さなくても、幼児の絵をみても、みんな、お日様は丸く描いてます。教材を作った人は太陽を見たことないのでしょうかね。著者は吸血鬼かな。（笑）

　しかし、四谷大塚の教材になるというと、そういう出題をした有名私立中学があるのでしょうね。

sesame · Answer

部分日食(太陽の一部が三日月のように欠ける日食)をごらんになったことはありませんか？
そのとき、地面に落ちる木洩れ日を注意深く見ると、そのすべてが欠けた太陽と同じ、三日月形になっているはずです。(言葉で説明するのはむずかしいのですが、地面に無数の光の三日月形が散らばっているような情景になります)
やがて日食が終わると、木洩れ日はふたたび、円形にもどります。
(お気づきかもしれませんが、ピンホールカメラの原理です)

観察：太陽が欠けているときは、穴を通して地面にうつった光の形も欠けた形になる。

結論：地面にうつった光の形が円いということは、その光源である太陽も円いということである。Q.E.D.

…ということで証明になってませんでしょうか？

でも、太陽が円いことを証明するのにそんな手順が必要かなあ？
遮光ガラスを通して太陽を実視してみればすぐにわかるような気がするのですが。
どちらかというと、この観察はむしろgessiさんのおっしゃる光の回折を証明する実験になるような気がします。

noname#1448 · Answer

確かにそうですね。しかし私にもその理由は全く分かりません。もしかしたらその参考書が小学生向けであるので小学生に分かりやすいようにちょっとした嘘を・・・なんてあるわけないですよね。余計なこといってすいません。信じないでね。

noname#1448 · Answer

高校の物理の「波動」という分野になってくるのですが、光とか音とかってすべて波という形で存在します。その波がある穴をとおるとき、その他（穴以外の場所）では波はさえぎられてしまいますが、穴の部分では波は通り過ぎます（これは当然ですよね）。ここからが重要なんですが、通り抜けた波は「回折」という現象を起こします。これは通り抜けた波がその穴の大きさまま進むのではなくその穴を過ぎた瞬間から円状に広がっていく現象のことです。なので質問のような現象が起こるのです。もっと詳しく知りたかったら、他の方の回答を参考にしたり、どっかのサイトに行って下さい。

太陽光はどんな形の穴を通っても、地面に写ると丸くなる？

もし「どのような形の穴を通しても、地面にうつる光の形は円型になる。

難しい話が出てきてますので、その前の段階を少し補充しなくては。

我が尊敬するstomachman大センセが完璧な答えを出されているので、発言を躊躇したのですが、「回折」という言葉が乱れ飛んでいるので、敢えて「蛇を画きて足を添え」ます。

すみません。

この場合、「回折」は関係ないでしょう。

部分日食(太陽の一部が三日月のように欠ける日食)をごらんになったことはありませんか？

確かにそうですね。

高校の物理の「波動」という分野になってくるのですが、光とか音とかってすべて波という形で存在します。

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　この場合、「回折」は関係ないでしょう。