電気回路の微分方程式

電源、抵抗、コイルを直列につないだ回路で、電源v(t)=0(t<0),E(t≧0)、抵抗値R、インダクタンスLとしたときの微分方程式を解いてi(t)を求めよ。
という問題なんですが、
微分方程式は
v(t)=Ri(t)+Li'(t)
として解こうと思うのですが、初期条件として勝手にi(0)=0,i'(0)=0と考えても良いのでしょうか？
また、そのときに解いた解は
t<0の時
0=RI+LsI
i=0
t≧0の時
E/S=RI+LsI+RIs
i(t)=E/RL(1-exp[-R/Lt])
と出しました。
これで合っているでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2009/02/08 02:38

> 初期条件として勝手にi(0)=0,i'(0)=0と考えても良いのでしょうか？

i(0)=0 となります。

i'(0)=0にはなりませんので駄目ですし、
微分方程式を解くのにも必要ありません。
> t<0の時
> 0=RI+LsI
×です。　t<0でラプラス変換は定義できません。
> i=0
i(t)=0 としないと駄目です。

> t≧0の時
> E/S=RI+LsI+RIs
×です。
E/s=RI(s)+L{sI(s)-i(0)}
と書いてから、
i(0)=0を代入して
E/s=RI(s)+LsI(s)
I(s)=(E/L)/{s(s+(R/L)}
=(E/R){1/s-1/(s+R/L)}
>i(t)=E/RL(1-exp[-R/Lt])
　×です。
　i(t)=(E/R)[1-exp{-(R/L)t}]
//以上。

この回答へのお礼

丁寧な解答ありがとうございます。

お礼日時：2009/02/08 22:59

No.2 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/02/08 13:17

＞ 初期条件として勝手にi(0)=0,i'(0)=0と考えても良いのでしょうか？

初期条件が異なれば、異なる問題を解いたことになります。
i(0) = 0 としてよいか否かは、出題者に訊くしかありません。

電気回路の計算としては、i(0) = 0 とするのが自然なような気はしますが、
それは、「気がする」という話であって、数学上の問題ではありません。
数学的には、何か初期条件を与えなければいけない　ということだけです。
問題に与えられていないのなら、何か文字で置いて、
「初期条件を i(0) = C （C は定数）とする。」とすれば、一般性を失いません。
C の値をどうするかは、電気学上の問題です。

i ' (0) = 0 は、蛇足です。
貴方の微分方程式は、１元１階ですから、初期条件は１個しか要りません。
初期条件問題の解の存在定理については、復習しておくとよいでしょう。↓
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/different …

質問文を読んだとき、s が何処から沸いて出たのか分からなかったのですが、
ラプラス変換なのですか？ 数式を扱うとき、こういう態度はよくありません。
何を何の文字で置いたか、式変形に何の根拠があるのか、説明できるようで
ないと、考察が計算に埋没して、容易にミスを起こします。
見たことのある式変形を何となくなぞるのではなく、
自分が何をやっているのか、意識して計算を進めることが大切です。

＞ これで合っているでしょうか？

合っているかどうかは、微分方程式に代入してみれば分かります。
この検算は、方程式を求積するのに比べ、遥かに易しい計算ですから、
解（と思われるもの）を得たら、必ずやってみたほうがよい。

この回答へのお礼

そうですね。気をつけます。

お礼日時：2009/02/08 23:08