ホワイトノイズはガウス分布？

Question

ホワイトノイズはガウス分布に従うというようなことがいろいろな文献に書かれているのですが、
これってどういうことなのでしょうか？
ホワイトノイズとは全周波数に渡って一様なノイズのはずです。
このノイズが平均値とか分散値をもつというのはどういうことなのでしょうか？

info22 · Accepted Answer

#1です。
A#1の補足の質問の回答

> これはσ→∞のとき完全なホワイトノイズになると考えて良いのでしょうか？
もちろん一致します。でもσが無限大のガウスノイズは、現実には実現不可能です。

> この標準偏差が無限のときに、
狭い周波数帯では平坦に見えるということからホワイトノイズと呼ばれるという説明で合っていますでしょうか？
無限は思考的な理論の世界の表現で、現実には無限の周波数は作れませんし、その測定器も存在しません。もしσが無限大のガウス雑音が出来たとしたら、ホワイトノイズと区別できないでしょう（ガウスノイズはσ無限大の極限ではホワイトノイズは一致します）。

別に標準偏差が無限大でなくても、扱うスペクトルの周波数帯で平坦なスペクトル（と見えている）ならホワイトノイズとして扱って良い（見做して良い）でしょう。あくまでも擬似的なホワイトノイズであって、ホワイトノイズそのものではありません。
たとえば、音声などの可聴周波数帯（50Hz～20kHz位）の信号を扱う場合は標準偏差σが100kHz以上のガウス雑音を擬似的なホワイトノイズとして扱って良いでしょう。このσのガウス雑音のスペクトルの大きさ（振幅）は可聴周波数帯のf=0～20KHzの範囲ではほとんど平坦なので、σ=100kHzのガウス分布のガウス雑音は可聴周波数帯ではホワイトノイズの代用として使えるでしょう（この意味で擬似ホワイトノイズです）。同じホワイトノイズ発生器を、帯域100kHzの周波数計測器の雑音源としては全くホワイトノイズの役目をしません。あくまでガウスノイズに過ぎません。

フーリエ積分（変換）を学んで見えるなら、
振幅分布がガウス分布の信号（雑音）の周波数スペクトル（密度）はやはりガウス分布になります。

一方、振幅が無限大、幅ゼロのパルス（ディラックのデルタ関数δ(t)）の）のフーリエ変換はフラットなスペクトルになります。しかし、現実には、振幅が無限大、幅ゼロのパルスは作れません。
デルタ関数と見做せる大きな振幅と幅の狭いパルスは作れます。これらのパルスを時間間隔を蜜に発生させた信号源（雑音源）が擬似的なホワイトノイズ発生器ということですね。

なお、真の意味のホワイトノイズ発生器は製作不能です。製作できてもそれがホワイトノイズ発生器であることを確認する測定器も作れないし存在しませんね。あくまで理念的な空想の産物ですね。

imoriimori · Answer

通りすがりですが、どうも混乱しているように思われる部分について参考になればとコメントいたします。

「ホワイトノイズはガウス分布に従う」
これが間違いであること、両者は無関係な話である、というのは既に＃1様引用ＵＲＬに書かれているとおりです。
従って次のどれも自ずから違っています。
「ガウスノイズのある極限がホワイトノイズであるということのように思うのですが」
「σ→∞のとき完全なホワイトノイズになると考えて良いのでしょうか」
「ガウスノイズとはある周波数（μ）にピークを正規分布をしたノイズピークで、この標準偏差が無限のときに、狭い周波数帯では平坦に見えるということからホワイトノイズと呼ばれるという」

「ジョンソンノイズやショットノイズなど現実に見られるホワイトノイズは明らかにガウス的な波形をしていないように」
ここでいう「波形」とは何を意味するのか不分明です。そう言う不分明さも混乱を招くと思いますので一応確認。形を言う場合、（１）時系列のデータの波形、（２）データ値のヒストグラムの形、（３）時系列データのフーリエ変換（スペクトラム）の形、といろいろあります。ノイズ波形はランダム波形なのでもちろん（１）はガウス的ではない。（２）ならガウス的である場合も無い場合もある。（３）がどうなるかはノイズの性質次第であって、ホワイトノイズというのは（３）がほぼ平坦であるようなノイズのことを言う。（ここは大丈夫ですよね？）

ついでながら、＃２様にも若干混乱があると思われます。「振幅分布がガウス分布の信号（雑音）の周波数スペクトル（密度）はやはりガウス分布になります」というのは間違いかと。振幅分布（上記の（２））がガウス分布であっても（あるいはガウス分布でなくても）個々のデータ（１）間に相関がなければ、周波数スペクトル（３）は白色となります。ガウス関数のフーリエ変換はガウス関数というのはよく知られた話ですが、スペクトル（３）はヒストグラム（２）のフーリエ変換ではなく時系列データ（１）のフーリエ変換ですから話が違います。

ここで元の質問に戻って「ホワイトノイズとは全周波数に渡って一様なノイズのはずです。
このノイズが平均値とか分散値をもつというのはどういうことなのでしょうか？」ですが、もしかしたら何か大きな勘違いをしているのではないかという気がしてなりません。
ランダムノイズが分散値を持つことに疑問を持っておられるようですが、実時間データがばらばらばらついたら分散値を持つことに疑問があるはずがないですよね。疑問を持つとしたらスペクトルが一様となるような実時間データがどうして分散値を持つのか、ということでしょうか。
全周波数に渡って「完全に一様な」スペクトルというのは、実空間（実時間）関数で言えば単一のδ関数です（＃２様の記されたように）。δ関数はランダムノイズとは言いません、単一δ関数について分散がどうというのももちろんおかしな話です。
ホワイトノイズのスペクトルはフラットであると言いますが、実際にスペクトルを見たことはありますか。一様では全くありません。実時間データと同様にばらばらと凹凸しています。しかしどの周波数帯で特に高いとか低いとかの癖は無い。大局的にどの周波数帯でも似た程度の雑音パワーがあるという意味で一様とかフラットとかホワイトとか言うのです。同じ実験を無限回繰り返して無限個のスペクトルを平均したらようやくフラットに見えるというものです。

全然見当違いのコメントかもしれません。これで片付かない場合、ご疑問点を整理してあらためて明解な形で別の質問を立てられたらよろしいかと思います。

info22 · Answer

#1,#2です。
>ホワイトノイズ⊂ガウスノイズという関係になると思います
質問者さんの屁理屈には付き合いきれません。

y=ax^2は放物線、a->0とするとy=0
したがって、直線y=0⊂放物線という関係ですか？

x^2+(y-r)^2=r^2, r->∞とすると y=0
したがってy=0⊂円という関係ですか？

双曲線(x/a)＾2-(y/b)^2=1/k,k->∞とするとy=±(b/a)x
したがって、(直線y=±(b/a)x)⊂双曲線という関係ですか？

人類、過去にどんどん遡っていくと両棲類、なので両棲類⊂人類という関係ですか？

質問者さんの屁理屈が正しいとするなら、
はるか先の極限で一致するからといって、その極限のものが同じ類（群？）に属することになります。

ホワイトノイズは、ホワイトノイズであってガウスノイズではありません。質問者さんの質問の目的は屁理屈をつけて、回答者をやり込めることなら、付き合うだけの時間の無駄ですから、ここらで引かせてもらいます。

info22 · Answer

参考URLにホワイトノイズ（白色雑音）とガウスノイズ（正規分布のノイズ）との関係について詳細な解説がありますのでご覧下さい。

ホワイト雑音は理論上のスペクトル強度があらゆる周波数で一定（平坦）な理想的な雑音であるが、現実にはそのような雑音が存在しないので、一定の集荷数範囲でスペクトル強度が一定と見做せるガウス雑音で、現実には、ホワイトノイズの代用として使っているのですね。
あくまでホワイトノイズ＝ガウスノイズではありません。
ホワイトノイズとして使いたい周波数スペクトル範囲Aで、十分平坦となるガウスノイズ（Aに対してσが十分大）で現実には代用していると言うことから、これが一人歩きして、ホワイトノイズ＝ガウスノイズのような錯覚（誤解）を与えているのではと思います。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9B%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%83%88%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%82%BA

ホワイトノイズはガウス分布？

#1です。

通りすがりですが、どうも混乱しているように思われる部分について参考になればとコメントいたします。

#1,#2です。

参考URLにホワイトノイズ（白色雑音）とガウスノイズ（正規分布のノイズ）との関係について詳細な解説がありますのでご覧下さい。

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