No.4ベストアンサー
- 回答日時:
a,b,c,...,mを自然数とする
[1]二桁の自然数 10a+b が 3の倍数 ならば
10a+b=3m とおける
この両辺から9aを引いて
a+b=3m-9a=3(m-3a)
m-3aは自然数(必ずm-3a>0となる)であるから
10の位aと1の位bの和が3の倍数である二桁の自然数は3の倍数である。
[2]三桁の自然数 100a+10b+cが 3の倍数 ならば
100a+10b+c=3m とおける
この両辺から99a+9b を引いて
a+b+c=3m-99a-9b=3(m-33a-3b)
あとは[1]と同様
※任意の桁で成り立つことがわかる。
※9の倍数を調べる場合も適用できる。
やっかいなのは7の倍数の調べ方である。これも中学のとき、やった記憶がある。是非、チャレンジして下さい。
感想:調べ方を用いて3の倍数を判定できる者はたくさんいるが、調べ方に疑問を持つ者は少ない。その点でこの質問は非常に良い質問である。
No.3
- 回答日時:
まず、前提として、3で割れる数(3の倍数)は3×自然数と表すことができます。
自然数とは、1,2,3,4,5,6,7,8・・・のこと、言い換えると正の整数のことです。
自然数といちいち書くのが面倒くさいので、自然数をnという文字で表すことにします。
だから、3で割れる数を3×nとあらわします。
ここで、とりあえず2桁の整数について考えても見ましょう。
2桁の整数の十の位を○、一の位を△とすると、2桁の整数は○×10+△と表せます。(たとえば、23は2×10+3ですよね)。そこで、○の変わりにr、△の変わりにsを使うとすると、2桁の整数はr×10+sになります。かけるの記号を省略すると10r+sになります。ここで、各位の数(rとs)の和(足し算すると)3の倍数になると言うことは、r+sが3×自然数(面倒くさいので3×aだから3a)と表せます。
ここで、2桁の整数、10r+sをこう分解します。
10r+s→9r+r+s→9r+(r+s)→9r+3a→3×3r+3a
→3×3r+3×a→3(3r+a)
ここで、3r+aは自然数(最初に断らなかったけど、使っている文字は全部整数と言う意味ね)だから
3(3r+a)は3×自然数になるので、3の倍数と言うことになります。
これで2桁の整数については説明できましたね。
3桁の整数は、100b+10c+d→99b+b+9c+c+d→99b+9c+b+c+d→3(33b+3c)+(b+c+d)に変形して、各位の数の和(b+c+d)が3の倍数のときそれを3×自然数(3×f)におきかえて
3(33b+3c)+3f→3(33b+3c+f)というように変形すれば説明できます。
4桁以上の場合も、同じようにしていけばいいのです。
ところで、いままで使った文字は適当にアルファベットを使っただけで、アナタの好きな文字にしてもいいですからね。
どうでしょう?
No.2
- 回答日時:
こんばんは。
それより簡単なのが、
「各桁の数字の和が9の倍数ならば、9で割り切れる」
です。
実は、これを先に考えるのが、「3で割り切れる」を理解する近道です。
ある自然数の、1の位の数字をa0、10の位の数字をa1、100の位の数字をa2・・・
と置けば、
元の数 = a0×1 + a1×10 + a2×100 + ・・・
= a0×10^0 + a1×10^1 + a2×10^2 + ・・・
= Σ(an×10^n)
= Σ(an×1) + Σ{an×(10^n - 1)}
= Σan + Σ{an×(10^n - 1)}
(anは、0以上の整数)
(n=0~+∞)
ところが、10^n から1を引くと、必ず9だけが並んだ自然数(ただし、n=ゼロのときだけはゼロ)になります。
<例>
10^2 - 1 = 100 - 1 = 99
10^7 - 1 = 10000000 - 1 = 9999999
これらは、必ず9で割り切れますよね。
つまり、上の式における
(10^n - 1) は、9の倍数です。
ですから、
an×(10^n - 1) も、9の倍数です。
したがって、
元の数 = Σ(an) + 9の倍数
と表すことができてしまいます。
ですから、各桁の数字の合計 Σ(an)も9で割り切れれば、
元の数 = 9の倍数その1 + 9の倍数その2
= 9の倍数その3
となって、元の数も9で割り切れます。
これで、「9で割り切れる」の説明は完了です。
-----------------------
各桁の数の和である Σan が9で割り切れなくても、3で割り切れれば、
元の数 = 各桁の数の和 + Σ{an×(10^n - 1)}
= Σan + 9の倍数
= 3の倍数その1 + 9の倍数
= 3の倍数その1 + 3×(3の倍数その2)
= 3の倍数その3
となり、元の数は3で割り切れます。
以上、ご参考になりましたら幸いです。
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