群の公理を導出する問題で悩んでいます。
『群の公理に、
公理(1) 元の積が結合律を満たす。
公理(2) 集合Gの任意の元a,bに対して、ax=b,およびya=bとなるGの元x,yが存在して一意的である。
というのがあるが、いま、公理(2)を分解して、
公理(2‐1) Gの中に単位元が存在する。(eは単位元で次が成立。ae=ea=a)
公理(2‐2) Gの任意の元に対し逆元が存在する。(xは逆元で次が成立。ax=xa=e)
とした時、公理(1)、(2‐1)、(2‐2)から公理(2)を導け』という問題について考えています。
これは、公理(2‐2)の式、ax=eについて右からbをかけて、
axb=b
ここで xb=X とすると
aX=b (ya=bも同様にして)となり、公理(2)が導けたように思うのですが…でもこれだと公理(1)を用いておらず問題の意図に反している気がしてなりません。
私の考え方で誤っている点をご指摘していただきたいです。
No.2
- 回答日時:
>ax=eについて右からbをかけて、
左辺をいきなりaxb=bとしないで
(ax)b=b
としておいてから公理(1)を使って
(ax)b=a(xb)=b
としたら良いのではないかと思います。
この回答への補足
私の捉え方で間違ってはいないということでしょうか。
ですが私の考え方では、一意性の証明には足りていないのではないでしょうか?
ご指摘お願いします。
なるほど、そのように表記したほうが公理をつかっていることが明瞭ですね。
問題に沿っていないのではないかというモヤモヤがとれました。
ありがとうございます。
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