収束半径に関する質問です。

微積の本に次のような記述がありました。

∞
Σa[n]x^nの収束半径をrとする。
n=1
Ｌ=lim|a[n+1]/a[n]|が存在すればr=1/L
(証)x≠0に対し|a[n+1]x^(n+1)|/|a[n]x^n|→L|x|だから
ダランベールの収束判定法(ratio test)より
L|x|＞1ならばΣa[n]x^nは発散
L|x|＜1ならばΣa[n]x^nは収束
よって、r=1/Lだとわかる・・。

これに関して、収束のほうは
L|x|＜1ならばΣ|a[n]x^n|は収束
よってΣa[n]x^nは収束だから、納得できますが。

なぜいきなりL|x|＞1ならばΣa[n]x^nは発散するのでしょうか？

この本のratio testは、"正項級数"に関しての定理でした。

なので、
ratio testを適用すれば
L|x|＞1ならばΣ|a[n]x^n|は発散
としか言えないと思いました・・・(※)

そこで、ratio testについていろいろ調べていたところ
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …
↑コチラに、ratio testの証明に関する記述がしてあるのを見つけました。
ですが、ここで書かれている証明には、私が持っている本に書いてある正項級数に関するものではなく、一般の級数に関してのもののように思います。そして証明も自分で読んでみて正しいように思いました。

[質問1]
ratio testが正項級数に関して成り立つということしか知らなければ、
(※)の主張は正しいと思うのですがどうでしょうか？
それとも、(※)からΣa[n]x^nの発散が導けるのでしょうか？

[質問2]
上記のURLにある証明は正しいのでしょうか？
(つまりratio testは正項級数に限らず成り立つのでしょうか？)

No.1 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2009/04/11 11:15

１． L|x|＞1 ならば Σ|a[n]x^n| は発散は納得できる？

２． L|x|＞1 ならば |a[n]x^n| は発散は？　（ここが一番微妙か）
３．|a[n]x^n|が発散ならば、a[n]x^n は発散は？
４．a[n]x^nが発散ならば、Σa[n]x^n は発散は？

この回答への補足

回答ありがとうございます。
はい、そこが微妙です。
1は正しいと思います。
2が言えれば、確かに4まですんなりいくのですが、2がよくわかりません。

補足日時：2009/04/11 16:49

No.2 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/04/12 01:03

確かに 2 は微妙ですが, ε-δ を使った lim の定義が出てくれば実はそんなに難しくないはず.

L|x| = 1+ε (ε > 0) を仮定すると, 十分大きな全ての n に対して a[n+1]x/a[n] ≧ 1+ε' (ε' > 0) が言えるはずです.

この回答への補足

回答ありがとうございます。

すると、質問文にあるＵＲＬの主張が正しいということで良いのですよね？似たような証明をしていましたし・・。

また、そのようにしてNo1さんの書かれた、2が示されるのだとしたら
私の使ってるこの本に書かれた証明は説明を割愛しすぎだということになりますが・・・。

補足日時：2009/04/13 00:20

No.3 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2009/04/13 01:24

＞私の使ってるこの本に書かれた証明は説明を割愛しすぎだということになりますが・・・。

まあ、そう考えるかどうかは、人それぞれでしょう。
つまり、質問文にあるＵＲＬの証明を、こんなもんわざわざ書かなくても分かるでしょ、と思うかどうか、ってとこですが。
確かに、全くふれてないとしたら親切でないのは確かですが。

というか、
＞１． L|x|＞1 ならば Σ|a[n]x^n| は発散は納得できる？
これは、納得できる、ってことですが、
つまり、ダランベールの収束判定法のところで、ちゃんと、
「　lim a[n+1]/a[n] > 1 なら級数は発散する」
というを習った（証明した）ってことですよね。
この証明は、普通は、
「lim a[n+1]/a[n] > 1　なら、 a[n] は発散する」ていうのをまず証明して、したがって、「 Σa[n] は発散する 」
という流れになっているはずだと思うのですが。
こうじゃない証明のやり方もあるかもしれませんが、わざわざ、そんな変な証明をするとは思えないです。

なんで、普通は、
１．が納得できる ＝ ２．が納得できる
なはずだと思うのですが違う？

この回答への補足

回答ありがとうございます。
＞こうじゃない証明のやり方もあるかもしれませんが
はい。そうじゃない証明です。
私のこの本の場合、ratio testは"正項級数"に関する定理ですから、どのような証明法であれ、2は絶対値の記号を付けないと言えないと思うのですが、違うのでしょうか？


ちなみに、証明法は
[1]
Σa[n],Σb[n]が正項級数で、十分大きいnに対して
a[n+1]/a[n]≦b[n+1]/b[n]であるとき、Σb[n]が収束すればΣa[n]も収束する。

という定理を補題として示し、ratio testを示しています。
具体的には

lim a[n+1]/a[n]=L＜１ならば、L<r<1なるｒをとり、
等比級数Σr^n=Σb[n]を考える。このとき、lim a[n+1]/a[n]=L より
十分大きいnに対してa[n+1]/a[n]≦b[n+1]/b[n]が成立。
[1]よりΣa[n]は収束。
発散についてもにたような感じです。

補足日時：2009/04/13 21:23