集合Sにおいて定義されるすべての位相を考え、その集合をF(S)=Fとする。
(O_α)_α∈AをSにおける位相からなる任意の族(すなわちFの元から成る任意の族)とする。
O'をどのO_αよりも強い任意の位相とすれば、明らかに
O'⊃∪[α∈A]O_αである。
∪[α∈A]O_αは必ずしもSにおける位相とはならない。・・(★)
(★)はどうしてでしょうか?
∩[α∈A]O_αは必ずSにおける位相になりますが・・・。
∪[α∈A]O_αが位相である為の3つの条件
(1)S∈∪[α∈A]O_α,φ∈∪[α∈A]O_α
(2)M_1,M_2∈∪[α∈A]O_αならばM_1∩M_2∈∪[α∈A]O_α
(3)(M_λ)_λ∈Λを∪[α∈A]O_αの元から成る任意の集合族とすると、∪[λ∈Λ]M_λ∈∪[α∈A]O_α
のどれが証明できないのでしょうか??
またその理由はなんですか?
(自分は(1)と(2)は証明できる"つもり"でいますが・・・)
どなたかわかる方いらっしゃったら回答よろしくお願いしますm(_ _)m
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(1)は明らかに満たしますが、
(2)も(3)も満たさない可能性があります。
そうですね。
たとえば、S={1,2,3,4} として
O1={φ, {1,2}, {1,2,3,4}}
O2={φ, {2,3}, {1,2,3,4}}
とすると、O1,O2は、Sの位相ですが、
O1∪O2 = {φ, {1,2}, {2,3}, {1,2,3,4}}
は、位相の条件の (2)も(3)も満たしません。
回答ありがとうございます。
なるほど。たしかにこれだと
M_1,M_2∈O1∪O2 として特に
M_1={1,2} M_2={2,3}を考えたとき
M_1∩M_2={2}はO1∪O2の元ではないし
M_1∪M_2={1,2,3}もO1∪O2の元ではないから
(2)(3)は不成立ですね。
↑あってますよね・・?
ありがとうございました。
No.1
- 回答日時:
>(自分は(1)と(2)は証明できる"つもり"でいますが・・・)
じゃあ、まずはそれを補足にどうぞ。
この回答への補足
回答ありがとうございます。
(1)
O_αはSにおける位相であるからS,φ∈O_α
一方、O_α⊂∪[α∈A]O_αであるから、
結局S,φ∈∪[α∈A]O_αである。
(2)の証明なんですが、すいません。自分の解答を見直してみたのですが間違っていました。
というのも,M_1,M_2∈∪[α∈A]O_αより
∃α1,α2∈A s.t.M_1∈O_α1 M_2∈O_α2
ここから
M_1∩M_2∈O_α1∩O_α2⊂O_α1⊂∪[α∈A]O_α
という風にしてました・・・。
M_1∩M_2∈O_α1∩O_α2
この式はおかしいですね・・・。
失礼しましたm(_ _)m
まとめると
(1)は常に成り立つが、(2)(3)は成り立つとは限らない
ということでしょうか?
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