A 回答 (5件)
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No.5
- 回答日時:
3度目。
お邪魔します。前回回答で、
---------
Vn = m/M・u - 1/n・m/M・Σ[k=1→n]Vk
ここで、n→∞ の極限を取れば、求める最終速度になります。
最終速度 = lim[n→∞]Vn = m/M・u
---------
と書きましたが、
よく考えたら、
Σ[k=1→n]Vk
の部分は、nが大きくなるほど大きくなるので、
1/n が掛け算されていても、
lim[n→∞] 1/n・m/M・Σ[k=1→n]Vk = 0
とはならないかもしれません。
というわけで、私自身、混乱しています。
失礼しました。
No.4
- 回答日時:
再びお邪魔します。
先程の回答は、結果だけは合っていますが、途中の計算にミスがありましたので、
下記に訂正します。
燃料の質量はmのままで、本体の質量をMとして計算してみました。
本体質量: M
燃料積載量: m
噴射の分割数: n
本体の速度: Vn
1回目の噴射での運動量保存の式は、
{M + (n-1)/n・m}V1 - 1/n・mu = 0
2回目の噴射での運動量保存の式は、
{M + (n-2)/n・m}V2 - 1/n・m(u-V1) = {M + (n-1)/n・m}V1
3回目の噴射での運動量保存の式は、
{M + (n-3)/n・m}V3 - 1/n・m(u-V2) = {M + (n-2)/n・m}V2
4回目の噴射での運動量保存の式は、
{M + (n-4)/n・m}V4 - 1/n・m(u-V3) = {M + (n-3)/n・m}V3
・・・・・
n-2回目の噴射での運動量保存の式は、
{M + 2/n・m}Vn-2 - 1/n・m(u- Vn-2) = {M + 3/n・m}Vn-2
n-1回目の噴射での運動量保存の式は、
{M + 1/n・m}Vn-1 - 1/n・m(u- Vn-1) = {M + 2/n・m}Vn-2
n回目(最後)の噴射での運動量保存の式は、
{M + 0}Vn - 1/n・m(u- Vn) = {M + 1/n・m}Vn-1
以上の式の左辺同士、右辺同士を、上から下まで全部足します。
Σ[k=1→n]{M + (n-k)/n・m}Vk - 1/n・nmu + 1/n・mΣ[k=1→n]Vk = Σ[k=1→n-1]{M + (n-k)/n・m}Vk
左辺のいちばん左のΣと右辺のΣでは、kの範囲が1つ違うだけで中身は同じだということに着目すれば、
{M + (n-n)/n・m}Vn - 1/n・nmu + 1/n・mΣ[k=1→n]Vk = 0
MVn - mu + 1/n・mΣ[k=1→n]Vk = 0
Vn = m/M・u - 1/n・m/M・Σ[k=1→n]Vk
ここで、n→∞ の極限を取れば、求める最終速度になります。
最終速度 = lim[n→∞]Vn = m/M・u
この問題では、M=m なので、
最終速度 = m/m・u = u
以上のことからわかるとおり、
M×最終速度 = mu
という関係ですので、
結果として、一発で空中分解したときの運動量保存の式と同じになります。
では、これにて。
No.3
- 回答日時:
こんにちは。
面白そうなので、やってみました。
頭のいい人だと、積分で一発で解けるのかもしれませんが、
瞬間、瞬間を細切れにして、運動量保存を適用し、数列の和を使って求めました。
まず、
燃料を連続的に「しゅーーーー」と噴射するのではなく、
n回に分けて離散的に「しゅっしゅっしゅっ」と噴射することとします。
つまり、最後に、n→∞ の極限を求めればよいです。
n回に分けるので、1回あたりの噴射量は、1/n・m です。
n回目を噴射した後のロケットの速さ(最終速度)をVnと置きます。
運動量の保存の式は、
[噴射後の本体+残燃料の運動量] - [噴射した燃料の運動量] = [噴射前の本体+残燃料の運動量]
です。
1回目の噴射での運動量保存の式は、
{m + (n-1)/n・m}V1 - 1/n・mu = 0
2回目の噴射での運動量保存の式は、
{m + (n-2)/n・m}V2 - 1/n・m(u-V1) = {m + (n-1)/n・m}V1
3回目の噴射での運動量保存の式は、
{m + (n-3)/n・m}V3 - 1/n・m(u-V2) = {m + (n-2)/n・m}V2
4回目の噴射での運動量保存の式は、
{m + (n-4)/n・m}V4 - 1/n・m(u-V3) = {m + (n-3)/n・m}V3
・・・・・
n-2回目の噴射での運動量保存の式は、
{m + 2/n・m}Vn-2 - 1/n・m(u- Vn-2) = {m + 3/n・m}Vn-2
n-1回目の噴射での運動量保存の式は、
{m + 1/n・m}Vn-1 - 1/n・m(u- Vn-1) = {m + 2/n・m}Vn-2
n回目(最後)の噴射での運動量保存の式は、
{m + 0} - 1/n・m(u- Vn) = {m + 1/n・m}Vn-1
以上の式の左辺同士、右辺同士を、上から下まで全部足します。
Σ[k=1→n-1]{m + (n-k)/n・m}Vk - 1/n・m・Σ[k=1→n](u-Vk) = Σ[k=1→n-1]{m + (n-k)/n・m}Vk
左辺の第1項と右辺は相殺されて、
1/n・m・Σ[k=1→n](u-Vk) = 0
Σ[k=1→n](u-Vk) = 0
nu - Σ[k=1→n]Vk = 0 ・・・(あ)
式(あ)で、nを1つ減らすと、
(n-1)u - Σ[k=1→n-1]Vk = 0 ・・・(い)
となりまして、(あ)-(い)より、
u - Vn = 0
Vn = u ( = 分割数がnのときの、最終速度)
というわけで、
最終速度はuに等しく、分割数nに依存しないという結果になりました。
連続噴射は、n→∞ の極限ですが、その場合も当然、uが答えになります。
V∞ = u ( = 求める最終速度)
以上、ご参考になりましたら幸いです。
No.2
- 回答日時:
どのように計算して答えを求めたか、式をあわせてお知らせください。
どこが悪いのか、説明できると思います。
基本的には運動量保存則で解けるはずなのですが。
(計算はちと面倒かもしれませんが)
No.1
- 回答日時:
このぐらい出来ないと完璧にヤバイ状態ですよ。
他の子は高度300kmぐらいまで打ち上げてます。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8E%A8%E5%8A%9B
1キロの物質を1m/Sで後ろへ飛ばせば慣性力で1m/Sの速度になるんですよ。
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