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こんにちは。
とある問題集の、
∫{1 / ( (1-x^2) * (x^2+1)^(1/2) )}dx を計算せよ、という問題についていです。
解答を見たところ、x=tanθと置くそうなのですが、その計算において
(x^2+1)^(1/2) = ((tanθ)^2+1)^(1/2) = 1/cosθ としているところに
疑問を持ちました。
思うに、-π/2<θ<π/2 などの条件があるなら格別、そうでなければ
(x^2+1)^(1/2) = 1/|cosθ| と絶対値を付けるべきではないですか?
この問題集では、たとえば y = arcsin x でのdy/dx を求める際も、
siny = x ⇔ dy/dx * (cosy) = 1
⇔ dy/dx = 1/cosy = 1/(1-(siny)^2)^(1/2) = 1/(1-x^2)^(1/2)
などと絶対値を考慮せず計算している場合があります。
(おそらく、前者の積分問題に関しては)絶対値で場合分けしても、
答えは同じになると思うので、まあ省略したと納得できなくもないですが、
後者の場合だと絶対値で場合分けすると答えが変わってくるので
問題になります(そもそもyがxの関数でないことが問題なのでしょう)。
このように、三角関数の逆関数微分、および置換積分の場合は、絶対値
符号は何も言及せずに外してもいいのでしょうか?
大学院受験での解答を前提として教えていただきたいです。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
x=tanθと置くとき、xの定義域が(-∞,∞)とすると、θの値域を通常は(-π/2,π/2)ととります。
もちろん、(π/2,3π/2)にすることは出来ますが、(0,π)と取ることは出来ません。(この場合、x=0でθが連続でないために問題がある)
この解説を書いた人は暗に(-π/2,π/2)と置いてしまったのでしょう。
理解はできるのですがさすがに不親切です。
理解できました!
ありがとうございます。
y=arcsinx の方はxの定義域では説明できなさそうですが、こちらはいかがでしょうか?
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