流体力学の演習問題について質問です

以下のような演習問題に取り組んでいますが流体の知識が足りないため解くことができないでいます。
どなたかもしよかったら教えてくださるとありがたいです。

演習問題
完全流体の二次元渦なし流れを考える。複素数ポテンシャルW(z)=φ(x,y)＋iψ(x,y)
と記述され、z=x+iy, i=√（-1）である。
また、x,y方向の速度成分u,vは速度ポテンシャルφと流れポテンシャルψと
u(x,y)=∂φ/∂x=∂ψ/∂y、v(x,y)=∂φ/∂y=∂ψ/∂xとあらわされる。このとき
（１）連続の式および渦なしの条件(∂u/∂y-∂v/∂x=0)を用いて次の式が成り立つことを示せ。
∂^2φ/∂x^2+∂^2φ/∂y^2=0, ∂^2ψ/∂x^2+∂^2ψ/∂y^2=0
（２）u,v とW(z)の関係が
　　dW/dz=u-ivで与えられることを示せ・
（３）W(z)=U(z)(Uは一定）の場合の速度成分u,vを求め、どのような
流れ場か説明せよ。

No.1 回答者： lycaon 回答日時： 2009/07/09 05:07

(1)(2)は単に計算だけの問題ですが、

>u(x,y)=∂φ/∂x=∂ψ/∂y、v(x,y)=∂φ/∂y=∂ψ/∂x

符号は合っていますか？
(このままではΔφ＝0は示せるがΔψ＝0は示せない。但しΔはラプラシアン)
また、

>(3)W(z)=U(z)(Uは一定）

は意味が不明。W(z)=Uz　(Uは一定）ではないですか？（複素定数Uで与えられる一様な流れ）

この回答への補足

答えてくださってありがとうございます。符号はあってるはずです。
（３）はおっしゃるとおりW(z)＝Uｚでした。ご指摘ありがとうございます。（１）（２）は計算だけの問題というと代入するだけということでしょうか？学びはじめたばかりなので単純な問いを聞いてすみません。

補足日時：2009/07/09 22:36

No.2 回答者： lycaon 回答日時： 2009/07/10 12:25

２次元流れ

◆速度ポテンシャルφ
非粘性の渦なし流れに存在。至る所渦なしの流れは非粘性（完全）流体のみ。
粘性があっても物体近傍以外で粘性を無視でき、渦糸を特異点として扱えば、それら以外の空間なら速度ポテンシャルを使える。
φ等高線とψ流線の曲線同士は直交する。φ等高線の間隔が狭いほど流速大。

ｕ＝∂φ/∂ｘ　　・・・(1)
ｖ＝∂φ/∂ｙ　　・・・(2)

◆流れ関数ψ
ψ＝const の曲線は流線を示す。粘性流体にも存在。２次元と軸対称３次元のみに存在。

ｕ＝∂ψ/∂ｙ　　・・・（3）
ｖ＝－∂ψ/∂ｘ　・・・（4）

◆流線
ｄｘ／ｕ＝ｄｙ／ｖ・・・(5)

◆連続の式
∂ｕ/∂ｘ＋∂ｖ/∂ｙ＝０・・・(6)

◆渦なし条件
流速ベクトルをＶとすれば rotＶ＝0

∂ｖ/∂ｘ－∂ｕ/∂ｙ＝０・・・(7)

◆ラプラスの式
Δφ＝∂^2φ/∂ｘ^2＋∂^2φ/∂ｙ^2＝０・・・(8)
Δψ＝∂^2ψ/∂ｘ^2＋∂^2ψ/∂ｙ^2＝０・・・(9)

◆複素速度ポテンシャルＷ
Ｗ＝φ+ｉψ　　・・・(10)

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[1] ラプラスの式の導出
∂^2φ/∂ｘ^2＝∂/∂ｘ(∂φ/∂ｘ）＝∂/∂ｘ(ｕ)＝∂ｕ/∂ｘ
∂^2φ/∂ｙ^2＝∂/∂ｙ(∂φ/∂ｙ）＝∂/∂ｙ(ｖ)＝∂ｖ/∂ｘ
連続の式(6)より、上２式は加えて0ゆえ(8)が成立。

∂^2ψ/∂ｘ^2＝∂/∂ｘ(∂ψ/∂ｘ）＝∂/∂ｘ(－ｖ)＝－∂ｖ/∂ｘ
∂^2ψ/∂ｙ^2＝∂/∂ｙ(∂ψ/∂ｙ）＝∂/∂ｙ(ｕ)＝∂ｕ/∂ｙ
渦なし条件(7)より加えて0ゆえ(9)が成立。
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[2] ｄＷ/ｄｚ＝lim<Δx→0,Δy→0>【{Ｗ(ｘ＋Δｘ,ｙ+Δｙ)－Ｗ(ｘ,ｙ)}/(Δｘ＋iΔｙ)】
この極限は経路に拠らないとする。

Δｙ＝0 のときの極限をとると、
ｄＷ/ｄｚ＝∂Ｗ/∂ｘ＝∂(φ+ｉψ)/∂ｘ＝∂φ/∂ｘ+ｉ∂ψ/∂ｘ＝ｕ－iｖ

一方∂ｘ＝0のときの極限は
ｄＷ/ｄｚ＝lim<Δy→0>【{Ｗ(ｘ,ｙ+Δｙ)－Ｗ(ｘ,ｙ)}/(iΔｙ)】
＝（１/i)・(∂ｗ/∂ｙ）＝(1/i)・∂φ/∂ｙ+∂ψ/∂ｙ＝－ｉｖ＋ｕ
両者は一致し、微分経路によらないことが確認できた。
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[3] Ｗ＝Ｕｚ、Ｕ＝ａ＋ｂｉ（複素定数）のとき。
ｄＷ/ｄｚ＝ｄ｛(ａ＋ｂｉ)・ｚ｝/ｄｚ＝ａ＋ｂｉ
これがｕ－iｖに等しいのだから、
ｕ＝ａ、ｖ＝－ｂ
流速のｘ軸方向成分ａ、ｙ軸方向成分－ｂの一様流。

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◆ベクトルポテンシャル（３次元＝おまけ）
流れ関数は２次元しか存在しない。（３次元軸対称流は実質的に２次元流）
一般３次元では、流れ関数ψ（スカラー）の代わりにベクトルポテンシャルψ（ベクトル）を使う。
ｘｙ平面では(3)(4)で３次元ベクトルψのｚ成分が定義されたと考え、同様に（文字を順に入れ替えるだけ）ｙｚ平面でψのｘ成分、ｚｘ平面でψのｙ成分を定義すれば、”３次元の流れ関数”的なベクトルができ、それをベクトルポテンシャルという。
ベクトルポテンシャルは粘性流にも存在する。