xの関数yについて(x^2)y-e^(2x) = sin yが成り立つときのdy/dx

自分の解答に自信がないので、下記の解答で誤りがあったら指摘してください(逆に誤りがないなら合っていますとコメントください)
解答.
(x^2)y-e^(2x) = sin y
まず両辺をxで微分して
2xy+(x^2)y'-2e^(2x) = y'cos y
整理して
y'(x^2-cos y) = 2(e^2x-xy)
(I)　x^2-cos y ≠ 0のとき
y' = 2(e^2x-xy)/(x^2-cos y)
(II)　x^2-cos y = 0のとき
x^2 = cos yより
y = arccos x^2
∴y' = -2x/√(1-x^4)

No.2 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2009/10/13 01:32

#1です。

A#1の補足質問について
>(I)の場合の答えの右辺にyが含まれているのは適切なのでしょうか？
>(x^2)y-e^(2x) = sin(y)
は陰関数表現しか表せない関数関係式のため　y'も
xだけの式で表すことはできません。
y=f(x)の形で表せない場合はy'の式にxだけではなくyが含まれるのが普通で、解答としても問題ありません。

>(II)の場合の回答中に「交点では　e^(2x)-xy≠0なので」とあるのですが、それはどうやってわかるのでしょうか？
(x^2)y-e^(2x) = sin(y)…(A)
x^2-cos(y)=0…(B)
e^(2x)-xy=0…(C)
を同時に満たす実数(x,y)の組がが存在しないことを示せば良いですね。
方法は問いません。
（A)のグラフが添付図の黒の曲線のようになります。通常
この曲線でy'を求めるには
xに対してyが一価関数でないとy'が定義出来ません。
yあるいはxの変域を限定すればその変域では一価関数にすることは可能です。
あるいは、yが一価関数になるxの変域に限定すればその変域でy'を求めることも可能です（例えば|x|>1の変域に限定）。
x,yに何らかの変域を定めて一価関数に出来たとすれば、(A),(B),(C)の共有点におけるy'が定義できます。
添付図の黒の曲線が(A)の曲線、水色の曲線が(B)の曲線、赤色の曲線が(C)の曲線で３つの曲線が一点で交わる共有点は存在することはありません。

従って、、
>「交点では　e^(2x)-xy≠0なので」
が言えますね。

この回答へのお礼

解答ありがとうございました。
すっきりしました。
わざわざ画像まで添付していただき非常に助かりました。

お礼日時：2009/10/13 08:53

No.1 回答者： info22 回答日時： 2009/10/12 19:22

(I)は合っています。

(II)はダメです。
x^2-cos y = 0の場合は
(x^2)y-e^(2x) =sin y
と連立方程式を解いた交点の(x,y)においてのみ
y'*0 = 2(e^2x-xy)
を考えることになる。
交点では　e^(2x)-xy≠0なので
　y'は存在しない（定義できない）つまり|y'|→∞
なので
つまり(II)では　y'が存在しない（定義できない）ことになります。

なので
(I)だけを解とすれば良いでしょう。

y' = 2(e^2x-xy)/(x^2-cos y)
(ただし、x^2-cos ≠0)

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
いくつか疑問があるのでそれにもお答えいただけるとありがたいです

(I)の場合の答えの右辺にyが含まれているのは適切なのでしょうか？
てっきり右辺はxのみで表現しなければならないと思っていたのですが(yはxの関数なので)

(II)の場合の回答中に「交点では　e^(2x)-xy≠0なので」とあるのですが、それはどうやってわかるのでしょうか？

お礼日時：2009/10/12 19:55