断面２次モーメント

長方形の断面２次モーメントの公式　　1/12bh3
はどの様に導出されたか教えてください。
公式に３は三乗の３です。

No.1 回答者： uyama33 回答日時： 2009/10/17 07:49

2∬(y^2)dydz　（ｙは０からｈ/2まで、ｚは０からｂまで）

を計算すると、
(1/12)bh^3
となります。

No.2 ベストアンサー 回答者： AoDoc 回答日時： 2009/10/17 20:00

　外荷重が作用する結果、材料の抵抗力として応力が生ずるが、外荷重によるモーメントとその結果、生じた応力によるモーメントは等しいとおいて、応力が求められます。

その途中で出てくる図の(1)式で示される断面形状・寸法に関する値が断面二次モーメントです。微小面積dAにy^2を掛けた値を断面積A全体に渡って計算し、和を求めると言う意味です。一般の断面形状の場合は二重積分になりますが、長方形などは、幅が一定ですので簡単な積分で求められます。x軸は断面の図心を通る中立軸になります。

　長方形の場合、図2の斜線の微小部分の面積は，dA ＝bdy となり、一方，ｙは　－h/2≦ｙ≦h/2　で変化するから，図の(2)式の積分を行うと断面積全体にわたって計算したことになり、断面二次モーメントが得られます。