eとsinxの定積分

∫0から∞ e^(-1)*sin(2x)dx を解きたいのですが、
部分積分で解いたところ、結果的に
∫0から∞ e^(-1)*sin(2x)dx=-1/4∫0から∞ e^(-1)*sin(2x)dx
∫0から∞ e^(-1)*sin(2x)dx=0
となってしまい、解けませんでした。
略解の答えは2/5です。
この問題はなにか式変形しなければいけないのでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2009/10/25 19:37

問題が間違っていませんか？

I=∫[0→∞] e^(-x)*sin(2x)dx

そうなら、2回部分積分して
I=[-e^(-x)cos(2x)/2][0→∞] +∫[0→∞] e^(-x)*cos(2x)/2dx
=1+(1/2)∫[0→∞] e^(-x)*cos(2x)dx
=1+(1/2)[e^(-x)*sin(2x)/2][0→∞]-(1/2)∫[0→∞] e^(-x)*sin(2x)/2dx
=1+0-(1/4)∫[0→∞] e^(-x)*sin(2x)dx
=1-(1/4)I
(1/4)Iを左辺に移項して
(5/4)I=1
Iについて解けば答えになりませんか？

この種のやり方は皆同じですのでやり方を覚えておくように！

この回答へのお礼

計算ミスでした。
ご指導ありがとうございます。＾＾

お礼日時：2009/10/25 19:39

No.1 回答者： R_Earl 回答日時： 2009/10/25 19:21

> ∫0から∞ e^(-1)*sin(2x)dx を解きたいのですが、

∫0から∞ e^(-x)*sin(2x)dxではないでしょうか？

> 部分積分で解いたところ、結果的に

方針はそれでいいと思います。
どこかで計算ミスしてませんか？

e^(-x)を積分側、sin2xやcos2xを微分側にして部分積分を行って
不定積分を求めた後、最後に定積文をしたら2/5の答えが得られました。

この回答へのお礼

∫0から∞ e^(-x)*sin(2x)dxでした。
すみません。

再計算したところ計算ミスでした。
指摘ありがとうございます。＾＾

お礼日時：2009/10/25 19:38