三角比の問題です

∠A=９０°、AB＞ACの直角三角形において
頂点Aから辺BCに下ろした垂線をADとし
∠ABCの大きさをθとする。
BC=１３、AD=6であるとき、次のものを求めよ。

（１）BD,CDの長さ　（２）cosθの値

教科書の練習問題で、答えがBD=９、CD=４と
あるだけで、途中経過が全くわかりません(。＞0＜。)
５時間考えましたが分からないので教えて下さい。
ちなみに正弦定理や余弦定理を使わない解法を
お願いします。（まだ勉強してないので）

No.1 ベストアンサー 回答者： himajin100000 回答日時： 2009/12/16 05:11

まず、ADはAからBCに引いた垂線だから

∠ADC = ∠ BDA = 90°
∠DAC = 180° - ∠DCA = 180° - 90°∠BCA = ∠CBA = ∠DBA
二角等しくΔADCとΔBDAが相似
よって対応する二辺の比が等しいから

AD / DC = BD / DA
BD = BC - DC = 13 - DC
であるから

AD / DC = (13 - DC) / DA

題意よりAD = DA = 6だから

6 / DC = (13 - DC) / 6

移項してまとめて
DC^2 - 13 * DC + 36 = 0
これを因数分解して
(DC - 4)(DC - 9) = 0となる。
よってDC = 4,9となる。

ただし、DC = 9とするとBD = 4

三平方の定理から
AC^2 = AD^2 + DC^2
AB^2 = AD^2 + BD^2
を考えるとAC > ABとなる。

従って、DC = 4とわかる。

よって
CD = DC = 4
BD = 9

=============

ΔABDで考えると、
AD = AB * sin(θ)
BD = AB * cos(θ)
sin(θ) / cos(θ) = AD / BD = 6 / 9 = 2 / 3

sin(θ) = 2 / 3 * cos(θ)

(sin(θ))^2 + (cos(θ))^2 = 1
(2 / 3 * cos(θ))^2 + (cos(θ))^2 = 1
( 4 / 9 + 1) * (cos(θ))^2 = 1
13 / 9 * (cos(θ))^2 = 1

cos(θ)^2 = 9 / 13
0°< θ < 90°だから cos(θ) > 0
よって
cos(θ) = 3 / SQRT(13)

#SQRTはルートだと思って。

なんか間違えてたら教えて

この回答へのお礼

うわぁ～～　長文回答ありがとうございます。
おかげさまで完全に理解できました。
大変助かるとともに感謝の気持ちでいっぱいです♪

お礼日時：2009/12/16 09:51